¿Qué métodos pueden garantizar que las cantidades físicas sigan siendo positivas durante una simulación PDE?

Las cantidades físicas como presión, densidad, energía, temperatura y concentración siempre deben ser positivas, pero los métodos numéricos a veces calculan valores negativos durante el proceso de solución. Esto no está bien porque las ecuaciones computarán valores complejos o infinitos (típicamente bloqueando el código). ¿Qué métodos numéricos pueden usarse para garantizar que estas cantidades sigan siendo positivas? ¿Cuál de estos métodos es más eficiente?

El método más común es restablecer los valores negativos a un número pequeño y positivo. Por supuesto, esta no es una solución matemáticamente sólida. Un mejor enfoque general que puede funcionar y es fácil, es reducir el tamaño de su paso de tiempo.

Los valores negativos a menudo surgen en la solución de PDE hiperbólicas, porque la aparición de choques puede conducir a oscilaciones, que tenderán a crear valores negativos si hay estados de casi vacío cerca del choque. El uso de un método de disminución total de la variación (TVD) u otro método no oscilatorio ( ENO, WENO ) puede reducir esta tendencia. Esos métodos se basan en el uso de limitadores no lineales para calcular derivados de la solución. Sin embargo, aún puede obtener valores negativos por varias razones:

• Si usa el método de líneas y aplica un integrador de tiempo de alto orden. La mayoría de los esquemas de TVD son demostrablemente TVD solo en el sentido semi-discreto o con el método de Euler. Para una integración de tiempo de orden superior, debe usar una fuerte discretización de tiempo de preservación de estabilidad (SSP) ; Estos esquemas también se conocen como "contracción" o "preservación de la monotonicidad". Hay un libro reciente sobre el tema de Sigal Gottlieb, Chi-Wang Shu y yo.
• Si no utiliza la descomposición característica local para sistemas de ecuaciones, su solución no será TVD (los esquemas TVD solo poseen esa propiedad para problemas escalares). Por lo tanto, es mejor reconstruir / interpolar en variables características.
• Si tiene un sistema no lineal, pueden surgir valores negativos incluso si utiliza la descomposición característica local. Por ejemplo, se puede mostrar que cualquier solucionador de Riemann linealizado (como un solucionador de Roe) para las ecuaciones de aguas poco profundas o las ecuaciones de Euler genera valores negativos en condiciones suficientemente desafiantes. Una solución es usar un solucionador de HLL (o una variante de HLL); algunos de ellos son demostrablemente positivos.
• Los esquemas de TVD son solo de segundo orden; Los esquemas no oscilatorios de orden superior como WENO no cumplen estrictamente con TVD o los principios máximos. Pero una nueva modificación de esos esquemas de alto orden sí; Es desarrollado en varios artículos recientes por Xiangxiong Zhang (un estudiante de Chi-Wang Shu).

Por supuesto, hay muchos otros enfoques especializados para ecuaciones particulares, como en el código GeoClaw de David George, que utiliza un solucionador de Riemann con ondas extra no físicas para reforzar la positividad.

Asumiendo que estamos resolviendo ecuaciones hiperbólicas sin ningún término fuente y asumiendo que proporcionamos condiciones físicas iniciales, asegurarnos de que el esquema numérico que usamos sea Reducción de variación total es una buena manera de asegurar la "fisicalidad" de la solución calculada. Dado que un esquema de TVD conserva la monotonicidad, no se crearán nuevos mínimos o máximos y la solución permanecerá limitada por los valores iniciales que esperamos establecer correctamente. Por supuesto, el problema es que los esquemas de TVD no son los más obvios. Entre los esquemas lineales, solo los esquemas de primer orden son TVD (Godunov 1954). Entonces, desde los años 50, se han desarrollado una variedad de esquemas de TVD no lineales para combinar alta precisión y monotonicidad para la solución de ecuaciones hiperbólicas.

Para mis aplicaciones, resolviendo ecuaciones de Navier-Stokes con grandes gradientes de presión / densidad, utilizamos un esquema central híbrido MUSCL para capturar los grandes gradientes / discontinuidades y mantener una buena precisión lejos de ellos. El primer esquema MUSCL (MUSCL significa Monotone Upstream-centrado Schemes for Conservation Laws) fue ideado por Van Leer en 1979.

Si desea saber más sobre este tema, consulte los trabajos de Harten, Van Leer, Lax, Sod y Toro.

Las respuestas anteriores se aplican a problemas dependientes del tiempo, pero también podría exigir positividad en una ecuación elíptica simple. En este caso, podría formularlo como una desigualdad variacional , dando límites para las variables.

En PETSc, hay dos solucionadores de VI. Uno usa un método de espacio reducido, donde las variables en restricciones activas se eliminan del sistema para ser resueltas. El otro utiliza un método de Newton semi-liso .

$A$

$$Au = b$$ $A$$A^{-1}$

Una matriz monótona $B\in\mathbb{R}^{n \times n}$$B\geq0$$B$

$$(B\geq 0) \qquad\Leftrightarrow\qquad (u\leq v ~\Rightarrow~ Bu\leq Bv, ~~\forall u,v \in \mathbb{R}^n )$$

Esta condición aplicada a la matriz del sistema monótono inverso significa que se cumple para el sistema de ecuación lineal anterior 0 ≤ b ⇒ 0 = A $A$

$$0 \leq b ~\Rightarrow~ 0=A^{-1}0 \leq A^{-1}b = u$$ $b$$b\geq 0$

Comúnmente, los esquemas de discretización que conducen a una matriz M se denominan esquemas monótonos y son esquemas que preservan la no negatividad.