¿Qué métodos de integración de tiempo debemos usar para las PDE hiperbólicas?

Si empleamos el Método de líneas para la discretización (discretización separada de tiempo y espacio) de PDE hiperbólicas que obtenemos después de la discretización espacial por nuestro método numérico favorito (fx. Método de volumen finito), ¿importa en la práctica qué solucionador de EDO empleamos para la discretización temporal? (TVD / SSP / etc.)

Se agregó información adicional: el problema de precisión puede ser un problema para problemas no uniformes. Se sabrá que las PDE hiperbólicas no lineales pueden desarrollar choques en un tiempo finito a pesar de que la solución inicial es fluida, en cuyo caso la precisión puede degradarse al primer orden para los métodos de alto orden.

El análisis de estabilidad de ODE generalmente se realiza en base a la linealización para obtener un sistema lineal semi-discreto de ODE de la forma q_t = J q (con un vector de perturbación qa), donde los valores propios de J deben escalarse dentro de la región de estabilidad absoluta del tiempo elegido. método de escalonamiento Las estrategias alternativas son usar pseudospectra o posiblemente un método de energía para el análisis de estabilidad.

Entiendo que la motivación para los métodos TVD / SSP es evitar las oscilaciones espurias causadas por los métodos de paso de tiempo que pueden dar lugar a un comportamiento no físico. La pregunta es si las experiencias muestran que estos tipos de métodos de paso del tiempo son superiores en comparación con, por ejemplo, un caballo de trabajo clásico como el Método Runge-Kutta explícito u otros. Obviamente, deberían tener mejores propiedades para las clases de problemas donde la solución puede presentar choques. Por lo tanto, se podría argumentar que solo deberíamos emplear este tipo de métodos para la integración temporal.

No sé si todavía estás interesado en una respuesta, pero aquí voy de todos modos:

Usted ya dijo que sabe sobre la formación de choque en ecuaciones no lineales. Esa es exactamente la razón por la que debe elegir cuidadosamente su integrador de tiempo. No sirve de nada aplicar una discretización espacial de TVD cuando la discretización de tiempo no lo es: verá las mismas oscilaciones que probablemente haya visto con flujos numéricos de orden superior.

Lo que se reduce a eso es que el delantero Euler trabaja. Ya mencionó SSP (fuerte preservación de la estabilidad) en su pregunta. Esta es una clase especial de métodos Runge-Kutta que hace uso de eso. Básicamente, debe elegir los coeficientes del método de tal manera que pueda escribirse como una combinación convexa de pasos de Euler. De esa forma, se conservarán propiedades como TVD y otras.

Hay un muy buen libro sobre métodos de SSP de Gottlieb, Ketcheson y Shu llamado "Fuerte Estabilidad Preservando Runge-Kutta y Discretizaciones de Tiempo de Pasos Múltiples" enlace amazon

Si importa. Las dos cosas habituales por las que debe preocuparse:

1. Exactitud. Algunos esquemas de ODE son más precisos que otros, de orden superior, etc. La regla general es elegir un método con un orden de precisión similar a su discretización espacial.

2. Estabilidad. Para problemas hiperbólicos, espera que el operador tenga valores propios imaginarios puros, por lo que desea un solucionador de ODE que incluya alguna parte del acceso imaginario en su dominio de estabilidad. Véase, por ejemplo, el Apéndice G en Fornberg, Una guía práctica para los métodos pseudopectrales.

Con las ecuaciones hiperbólicas, algunas personas quieren asegurarse de que sus soluciones sean siempre positivas, por lo que hay varios tipos de filtros y trucos para asegurar esto. Pero no sé casi nada de esto.

Estoy lejos de ser un experto, pero pensé que intentaría responder ya que la pregunta ha estado aquí por un tiempo.