Muchos métodos numéricos para PDE hiperbólicas se basan en el uso de solucionadores de Riemann. Tales solucionadores son esenciales para capturar con precisión las ondas de choque. Hay una gama de tales solucionadores disponibles para los sistemas mejor estudiados (por ejemplo, solucionadores exactos, solucionadores de huevas, solucionadores HLL). ¿Cómo debo decidir cuál usar?
Respuestas:
Para la solución numérica de PDE hiperbólicas, el uso de solucionadores de Riemann son componentes esenciales de los métodos conservadores de captura de choque para la simulación precisa de problemas de onda que pueden tener choques (saltos discontinuos en variables conservadas). Para poder obtener soluciones precisas a tales problemas, necesitamos utilizar técnicas de viento ascendente adecuadas: el solucionador de Riemann es responsable de esto. El solucionador de Riemann busca una solución precisa para el problema de la interfaz entre celdas (fx. En volúmenes finitos) o elementos (fx. En métodos de elementos finitos Galerkin discontinuos). La solución de este problema de interfaz se basa en la solución de cualquier lado de la interfaz y busca usar esto como base para la reconstrucción precisa del flujo (numérico) (en términos de variables conservadas) a través de la interfaz.
Existen dos enfoques estándar para la solución de tales problemas de Riemann (local a la interfaz), a saber, solucionadores de Riemann exactos y aproximados. Para muchas PDE no hay una solución exacta de forma cerrada disponible, en cuyo caso tenemos que recurrir a solucionadores Riemann aproximados. En la práctica, también puede ser (demasiado) costoso resolver exactamente los problemas de Riemann, en cuyo caso puede ser más práctico recurrir a solucionadores de Riemann aproximados. Por la misma razón, los flujos tipo Lax-Freidrichs se usan ampliamente como un medio simple.
Esencialmente, la elección entre los solucionadores de Riemann tiene que ver con la precisión con la que uno intenta tomar representa las velocidades de onda de la solución y la eficiencia resultante.
Depende del problema. El problema de Riemann se basa en datos de ambos lados de las interfaces celulares. Para reconstruir el flujo en la interfaz en función de estos datos, debemos conocer información sobre la estructura de onda completa de la PDE hiperbólica en cuestión. Esto hace que el problema de Riemann sea dependiente del problema y, por lo tanto, también la elección del solucionador de Riemann. En resumen, los solucionadores exactos buscan tener en cuenta la estructura de onda completa, el solucionador de Roe se basa en la aproximación local (por linealización y promedio especial) de la estructura de onda local, el solucionador HLL se basa en la estimación de dos velocidades de onda dominantes en el local estructura de la onda y luego imponer la conservación satisfaciendo la condición de Rankine-Hugoniot para resistir choques o discontinuidades de contacto.
Por lo tanto, la elección entre solucionadores específicos, solucionadores exactos o solucionadores Roe / HLL / etc aproximados depende de lograr un equilibrio entre la precisión (al imitar la física subyacente de las ecuaciones del modelo) y las necesidades de eficiencia. Al final, como lo veo, en la aplicación práctica, a menudo son los requisitos de eficiencia los que dictan el uso de solucionadores Riemann aproximados (fx. Del tipo Lax-Friedrichs).
EF Toro ofrece una buena exposición del tema en su libro de texto "Solucionadores de Riemann y métodos numéricos para la dinámica de fluidos", Springer.
Se me ha hecho creer que para los números numéricos de bajo orden se necesitan solucionadores Riemann de alta calidad y para los números numéricos de alto orden se pueden usar solucionadores Riemann de baja calidad. Intuitivamente, hay una cierta cantidad de FLOP necesarios para capturar la física por debajo de la cual se aplica una manguera.
Y sí, también hay cero contenido en esta respuesta desde una perspectiva métrica de evaluación ...