Implementación rápida y precisa de doble precisión de la función gamma incompleta

¿Cuál es la forma más moderna de implementar funciones especiales de doble precisión? Necesito la siguiente integral:

$$F_m(t) = \int_0^1 u^{2m} e^{-tu^2} d u = {\gamma(m+{1\over 2}, t)\over 2 t^{m+{1\over 2}}}$$ para$m=0, 1, 2, ...$y$t>0$, que puede escribirse en términos de la función gamma incompleta inferior. Aquí está mi implementación de Fortran y C:

https://gist.github.com/3764427

que usa la expansión en serie, resume los términos hasta la precisión dada y luego usa las relaciones de recursión para obtener de manera eficiente valores para menor $m$. Lo probé bien y obtengo una precisión de 1e-15 para todos los valores de parámetros que necesito, vea los comentarios de la versión Fortran para más detalles.

¿Hay una mejor manera de implementarlo? Aquí hay una implementación de la función gamma en gfortran:

https://github.com/mirrors/gcc/blob/master/libgfortran/intrinsics/c99_functions.c#L1781

está usando la aproximación de funciones racionales en lugar de resumir algunas series infinitas que estoy haciendo. Creo que es un mejor enfoque, porque uno debería obtener una precisión uniforme. ¿Hay alguna forma canónica de abordar estas cosas, o hay que encontrar un algoritmo especial para cada función especial?

Actualización 1 :

Basado en los comentarios, aquí está la implementación usando SLATEC:

https://gist.github.com/3767621

reproduce valores de mi propia función, aproximadamente en el nivel de precisión 1e-15. Sin embargo, noté un problema que para t = 1e-6 ym = 50, el término 2 es igual a 1e-303 y para una "m" más alta simplemente comienza a dar respuestas incorrectas. Mi función no tiene este problema, porque utilizo una serie de relaciones de expansión / recurrencia directamente paraFm. Aquí hay un ejemplo de un valor correcto:$t^{m+{1\over2}}$$F_m$

,$F_{100}$(1e-6)=4.97511945200351715E-003

pero no puedo obtener esto usando SLATEC porque el denominador explota. Como puede ver, el valor real de es agradable y pequeño.$F_m$

Actualización 2 :

Para evitar el problema anterior, se puede usar la función dgamit( función Gamma incompleta de Tricomi), entonces F(m, t) = dgamit(m+0.5_dp, t) * gamma(m+0.5_dp) / 2, ya no hay problema con , pero desafortunadamente explota para m ≈ 172 . Sin embargo, esto podría ser lo suficientemente alta m para mis propósitos.$t$gamma(m+0.5_dp)$m\approx 172$$m$

La integral en cuestión también se conoce como la función Boys, después del químico británico Samuel Francis Boys, quien introdujo su uso a principios de la década de 1950. Hace unos años, necesitaba calcular esta función con doble precisión, lo más rápido posible pero con precisión. I logrado alcanzar un error relativo del orden de a través de todo el dominio de entrada.$10^{-15}$

En general, es ventajoso utilizar diferentes aproximaciones para argumentos pequeños y grandes, donde el cambio óptimo entre "grande" y "pequeño" se determina mejor experimentalmente, y en general es una función de $m$ . Para mi código, definí argumentos "pequeños" como aquellos que satisfacen la condición .$a \le m + 1{1\over 2}$

Para argumentos grandes, calculo

$$\mathrm{F}_m(a) = {1\over 2}\gamma\left(m + {1\over 2}, a\right) \times p \times p, \space \space p = a^{-{1\over 2}\left(m+ {1\over 2}\right)}$$

Este orden de operaciones evita el desbordamiento prematuro. Como aquí solo necesitamos la función gamma incompleta inferior de las órdenes de medio entero en lugar de una función gamma incompleta inferior completamente general, es ventajoso calcular desde una perspectiva de rendimiento

$$\gamma \left(m + {1\over 2}, a\right) = \Gamma \left(m + {1\over 2}\right) - \Gamma\left(m + {1\over 2}, a\right)$$

utilizando valores tabulados de y computaciónΓ(m+$\Gamma \left(m + {1\over 2}\right)$acuerdo con esta respuesta, evitando cuidadosamente el problema de la cancelación sustractiva mediante el uso de una operación de suma múltiple fusionada. Una posible optimización adicional es observar que para a lo suficientemente grandea,γ(m+$\Gamma\left(m + {1\over 2}, a\right)$$a$dentro de una precisión de punto flotante dada.$\gamma \left(m + {1\over 2}, a\right) = \Gamma \left(m + {1\over 2}\right)$

Para pequeños argumentos, comencé con una expansión en serie para la función gamma incompleta inferior de

A. Erdelyi, W. Magnus, F. Oberhettinger y FG Tricomi, "Funciones trascendentales superiores, vol. 2". Nueva York, NY: McGraw-Hill 1953

y lo modificó para calcular la función Boys siguiente manera (truncando la serie cuando el término es lo suficientemente pequeño para una precisión dada):$\mathrm{F}_{m}(a)$

$$\mathrm{F}_{m}(a) = {1\over 2}\frac{1}{m + {1\over 2}}\exp(-a)\left(1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^{n}}{(1 + m + {1\over 2}) \times\space ...\space \times (n + m + {1\over 2})}\right)$$

$m = 0, 1, 2, 3$$\mathrm{F}_{0}(a) = \sqrt{\frac{\pi}{4a}}\mathrm{erf}\left(\sqrt{a}\right)$$\mathrm{erf}$ERFerferff

$m = 1, 2, 3$$a \lt {2{1\over 2}}$$\mathrm{F}_{m}(a) = \frac{1}{2a}\left(\left(2m-1\right)\mathrm{F}_{m-1}(a) - \exp(-a)\right)$

$a$$m$$m$$\mathrm{F}_{m-1} = \frac{1}{2m-1} \left(2a \space \mathrm{F}_{m}(a) + \exp\left(-a\right)\right)$

Puede echar un vistazo a Métodos numéricos para funciones especiales de Amparo Gil, Javier Segura y Nico M. Temme.

Echaría un vistazo al libro de Abramowicz & Stegun, o la nueva revisión que NIST ha publicado hace un par de años y creo que está disponible en línea. También discuten formas de implementar cosas de manera estable.

No parece ser el estado de la técnica , pero SLATEC a ofertas NETLIB "1400 de propósito general rutinas matemáticas y estadísticas." El Gamma incompleto está disponible en las funciones especiales aquí. .

Implementar tales funciones lleva mucho tiempo y es propenso a errores, por lo que no lo haría yo a menos que sea absolutamente necesario. SLATEC ha existido desde hace bastante tiempo y se usa ampliamente, al menos en función de los recuentos de descargas , por lo que esperaría que la implementación esté madura.