Matemáticamente, ¿por qué funciona el agrupamiento de matriz de masa / vector de carga?

Sé que las personas a menudo reemplazan matrices de masas consistentes con matrices diagonales agrupadas. En el pasado, también implementé un código en el que el vector de carga se ensambla de manera agrupada en lugar de una forma consistente con FEM. Pero nunca he investigado por qué se nos permite hacer esto en primer lugar.

¿Cuál es la intuición detrás del bulto que permite aplicarlo a los vectores de masa y carga? ¿Cuál es la justificación matemática para ello? ¿En qué situaciones no se permite el agrupamiento / no es una buena aproximación para los vectores de masa y carga?

finite-element

— Paul
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Respuestas:

En el método de elementos finitos, las entradas de matriz y las entradas del lado derecho se definen como integrales. En general, no podemos calcularlos exactamente y aplicar la cuadratura. Pero hay muchas fórmulas de cuadratura que uno podría elegir, y a menudo las elige de una manera tal que (i) el error introducido por la cuadratura sea del mismo orden que el debido a la discretización, o al menos no sustancialmente peor, y (ii) la matriz tiene ciertas propiedades que resultan convenientes.

El agrupamiento de masas es un ejemplo de este trabajo: si uno elige una fórmula de cuadratura particular (es decir, la que tiene puntos de cuadratura ubicados en los puntos de interpolación del elemento finito), entonces la matriz de masa resultante resulta ser diagonal. Eso es bastante conveniente para la implementación computacional, y la razón por la cual las personas usan estas fórmulas en cuadratura. También es la razón por la que "funciona": esta elección particular de fórmula en cuadratura todavía tiene un orden razonablemente alto.

— Wolfgang Bangerth
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Impresionante respuesta, como siempre. También me interesaría mucho su opinión sobre la segunda parte de la pregunta, cuando no se permite la acumulación de bultos / mala aproximación , si se me ocurre algo.

— Anton Menshov

@AntonMenshov: Parecería que sería difícil (¿tal vez imposible?) Obtener una buena aproximación a través de la agrupación para elementos de orden superior, ya que (por ejemplo, la agrupación diagonal) en ese caso sería equivalente a una cuadratura de orden inferior aplicada a orden superior polinomios

— Paul

@ WolfgangBangerth: Creo que lo entiendo ahora. Entonces, es como usar reglas de newton-cotes para la integración en lugar de la cuadratura gaussiana. Dado que cada función de interpolación lagrange tiene valores unitarios en un nodo específico, al migrar los puntos de cuadratura a los nodos, solo los términos diagonales se vuelven distintos de cero (al menos, para elementos lineales).

— Paul

@Paul, he usado masa de masa para elementos de orden superior (hasta 14) y funciona bien. Es habitual para el Método del elemento espectral, donde utiliza los nodos como puntos de cuadratura. En ese caso, el orden de aproximación de .

2 n - 3

$2n - 3$

— nicoguaro

El punto importante es que para elementos de orden superior, uno necesita definir la matriz de masa "agrupada" a través de fórmulas de cuadratura particulares. La forma original, a partir de la cual se origina el término "agrupado", agregó las entradas fuera de la diagonal a la diagonal, pero eso solo funciona si todas son positivas. Si aplica la cuadratura gaussiana, esto es cierto para los elementos de orden inferior, pero no para los elementos de orden superior.

— Wolfgang Bangerth

Matrices diagonales tienen ventajas evidentes en la aceleración de cálculos numéricos, y la respuesta de Wolfgang Bangerth es una buena explicación de cómo calcular una matriz de masa en diagonal, pero no responde a la pregunta de la OP "¿Por qué este trabajo " en el sentido de "¿por qué es es una buena aproximación a la física que estás modelando ".

Conceptualmente, puede separar la respuesta de un elemento en tres partes: movimiento de traslación de un cuerpo rígido, rotación rígida sobre el centro de masa del elemento y la deformación del elemento.

La función básica de la matriz de masa del elemento es representar el elemento KE como una forma cuadrática (es decir, donde son las velocidades nodales). $\frac 1 2 v^T M v$ $v$

A medida que disminuye el tamaño del elemento, la contribución al KE de la rotación del cuerpo rígido disminuye más rápido que la contribución de la traslación (para un elemento sólido con un tamaño lineal típico de , la masa es proporcional a pero los momentos de inercia son proporcional a ) y la contribución de la deformación del elemento es insignificante (al menos para problemas con pequeñas deformaciones elásticas). $a$ $a^3$ $a^5$

Por lo tanto, solo necesita realmente una "buena" aproximación a las partes rígidas del cuerpo del movimiento, es decir, 6 DOF, y de hecho una buena aproximación solo a la KE de la traducción del cuerpo rígido , es decir, 3 DOF, convergerá a medida que el tamaño del elemento sea reducido.

Los términos diagonales de la matriz de elementos contienen parámetros independientes más que suficientes para representar esos 3 o 6 términos KE con suficiente precisión. De hecho, para elementos de orden superior, puede usar matrices de masa en diagonal de masa donde los términos diagonales para los nodos del lado medio son cero.

Tenga en cuenta que esta es una situación completamente diferente de la energía potencial del elemento, donde las contribuciones de la traslación y rotación del cuerpo rígido son cero, y lo único que importa es representar la energía de deformación correspondiente a la deformación del elemento . ¡Por lo tanto, una matriz de rigidez diagonal no sería una idea factible!

— alephzero
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Además de las otras respuestas, hay escenarios en los que los errores en la matriz de masa no influyen en el resultado deseado.

Dado un problema de deformación no lineal de la forma que tiene una solución única , uno podría considerar resolver esto como el problema dinámico con la matriz de masa y la matriz de amortiguación través de una discretización de tiempo apropiada. Es fácil ver que el problema original se resuelve cuando se alcanza un estado de reposo ( ). Es importante destacar que no tiene influencia en este resultado (siempre que se logre la convergencia al resultado único). $K(u) \space u = f(u)$ $\hat{u}$ $K(u) \space u + C(u) \space \dot{u} + M \space \ddot{u} = f(u)$ $M$ $C$ $\dot{u} = \ddot{u} = 0$ $M$

La justificación para el agrupamiento masivo tiene más que ver con la velocidad de convergencia en lugar de, por ejemplo, el error de cuadratura ¹ : la facilidad de invertir una diagonal da como resultado iteraciones de paso de tiempo rápido con un esquema de integración de tiempo apropiado (donde es el único matriz inversa). $M$ $M^{-1}$

^{¹ Aunque el razonamiento sobre el comportamiento físico dinámico es, por supuesto, más fácil con una matriz de masa "correcta", por ejemplo, el momento angular puede ser conservado incorrectamente por matrices de masa agrupadas.}

— Max Langhof
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La idea es correcta en principio, pero usar una formulación de segundo orden en el tiempo es una mala elección porque conduce a un comportamiento oscilante del sistema que solo se amortigua por el término . Una mejor opción es usar solo y renunciar al término completo. Pero el mismo argumento se aplica para el término , y de hecho en muchos casos también puede conducir a una matriz de masa.

C \dot{u}

$C\dot u$

C \dot{u}

$C\dot u$

M \ddot{u}

$M\ddot u$

C \dot{u}

$C\dot u$

C

$C$

— Wolfgang Bangerth

Debo decir "matriz de masa" entre comillas aquí, ya que el término "matriz de masa", por supuesto, originalmente vino del término de segundo orden donde generalmente se multiplica por la densidad que, cuando se integra sobre un elemento, produce una "masa" .

\ddot{u}

$\ddot u$

— Wolfgang Bangerth