Comprender las condiciones de Wolfe para una búsqueda de línea inexacta

De acuerdo con Nocedal & Wright's Book Numerical Optimization (2006), las condiciones de Wolfe para una búsqueda de línea inexacta son, para una dirección de descenso , $p$

Disminución suficiente: Condición de curvatura: para $f(x+\alpha p)\le f(x)+c_1\alpha_k\nabla f(x)^T p$
$\nabla f(x+\alpha p)^Tp\ge c_2 \nabla f(x)^T p$
$0<c_1<c_2<1$

Puedo ver cómo la condición de disminución suficiente establece que el valor de la función en el nuevo punto debe estar bajo la tangente en . Pero no estoy seguro de lo que la condición de curvatura me dice geométricamente. Además, ¿por qué debe imponerse la relación ? ¿Qué logra esto, geométricamente? $x+\alpha p$ $x$ $c_1<c_2$

optimization

— Paul
fuente

$\nabla f(x)\cdot p < 0$ $p$ $p$ $\nabla f=0$ $x+\alpha p$ $p$ $\nabla f(x+\alpha p) \cdot p$ sigue siendo tan negativo como lo es en x. Más bien, queremos detenernos en un lugar donde el gradiente es menos negativo o incluso positivo.

| \nabla f (x + α p) \cdot p | \leq c_{2} | \nabla f (x) \cdot p |

$|\nabla f(x+\alpha p) \cdot p| \le c_2 |\nabla f(x) \cdot p|$

$c_1<c_2$

— Wolfgang Bangerth
fuente

f

$f$

c_{2} < c_{1}

$c_2<c_1$

c_{2} < c_{1}

$c_2<c_1$

f (x)

$f(x)$