Dificultad con el método espectral usando polinomios de Chebyshev

Tengo un poco de dificultad para tratar de entender un artículo. El documento utiliza un método espectral para resolver un valor propio que proviene de un sistema de EDO acopladas. Escribiré solo una ecuación ahora, porque es suficiente para llegar al quid de mi (s) pregunta (s).

La ecuación es

$V[r] = \frac{e^{-(\nu[r] +\lambda[r])}}{\epsilon[r] + p[r]} *\biggr[ (\epsilon[r] + p[r])( e^{\nu[r] +\lambda[r]})r W[r] \biggr]'$

Llevo a cabo la derivada y obtengo

(Eq1) $V = \biggr[ \frac{\epsilon' +p'}{\epsilon + p} + r(\nu'+\lambda') +1 \biggr] W + r W'$

Ahora, según el documento, debería poder expandir las cantidades de equilibrio ) del sistema como polinomios de Chebyshev de la forma $(\epsilon ,p ,\nu ,\lambda$

$B[r] = \Sigma_{i=0}^{\infty}b_i T_i[y] - \frac{1}{2} b_0$ , donde son los polinomios. Sé cómo obtener el usando el código que escribí en Mathematica. También , y el dominio de es . $T_i[y]$ $b_i$ $y = 2(r/R) -1$ $r$ $(0,R)$

El documento también establece que las funciones ( ) pueden expandirse como , y que en general un término como puede expresarse como $V,W$ $F[r] = (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}f_i T_i[y] - \frac{1}{2} f_0$ $B[r]F[r]$

$B[r]F[r] = \frac{1}{2} (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty} \pi_i T_i[y] - \frac{1}{2} \pi _0$

donde y para e igual a 1 para . $\pi_i = \Sigma_{j=0}^{\infty}[b_{i+j} + \Theta(j-1)b_{|i-1|} ] f_l$ $\Theta(k) = 0$ $k<0$ $k\geq 0$

Dicho todo esto, digamos que hago las siguientes funciones de equilibrio

$\frac{\epsilon' +p'}{\epsilon + p} = B_1[r]$ y $r(\nu'+\lambda') = B_2[r]$ , entonces Eq1 se convierte en

(Eq2) $\bigg((\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}v_i T_i[y] - \frac{1}{2} v_0 \bigg) = \biggr[ B_1[r] + B_2[r] +1 \biggr] \biggr( (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}w_i T_i[y] - \frac{1}{2} w_0 \biggr) + r W'$ .

Pregunta 1: ¿Qué hago con los términos ? Los polinomios son funciones de entonces, ¿cómo puedo tener una expansión como X función de [y]? También parece que puedo dividirlos a cada lado de la ecuación, entonces, ¿cuál fue el punto de introducción de ese término? Quiero decir, de acuerdo con el documento, se supone que este término impone la condición de límite de que vaya a cero como va a cero. $(\frac{r}{R})^l$ $[y]$ $B[r]= (\frac{r}{R})^l$ $V,W$ $r$

* Pregunta 2: * ¿Cómo se supone que debo tratar con la en el término ? El documento da una descripción de cómo manejar los términos derivados, pero qué pasa con el sí. ¿Se supone que debo tratarlo como un valor de equilibrio y usar la regla para términos como o debo expresar esta en términos de . ¿O debería hacer algo completamente diferente? $r$ $r*W'$ $r$ $B[r]F[r]$ $r$ $y$

eigenvalues polynomials spectral-method

— tau1777
fuente

¿Quizás pueda vincular al papel al que hace referencia?

— Aron Ahmadia

Hola Aron, aquí está el enlace arxiv.org/pdf/gr-qc/0210102.pdf Las cosas numéricas con las que estoy teniendo problemas se describen en el Apéndice A, y la ecuación que estaba examinando arriba es la ecuación (19). Gracias.

— tau1777

Tenga en cuenta que

sí es una función (lineal) de

y

$y$

(y por lo tanto de

\frac{r}{R}

$\frac{r}{R}$

r

$r$

— Christian Clason

No estoy seguro de que sea posible responder la pregunta sin una lectura detallada del documento. Pero con respecto a la primera pregunta, tienes . Y este factor no se puede dividir ya que no multiplica todos los términos. $r/R = (y+1)/2$

Para la pregunta 2: dado que esta ecuación se usará para aplicar la condición de frontera en , creo que el término que mencionas debería desaparecer. $r=0$

— David Ketcheson
fuente