Valor absoluto en restricciones lineales

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Tengo el siguiente problema de optimización donde tengo un valor absoluto en mis restricciones:

Deje que y sean vectores de columna de tamaño cada uno. Nos gustaría resolver lo siguiente: $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$ $\mathbf{f}_0, \mathbf{f}_1, \ldots, \mathbf{f}_m$ $n$

\begin{aligned} min & f_{0}^{T} x \\ s.t. & | f_{1}^{T} x | \leq | f_{2}^{T} x | \leq \dots \leq | f_{m}^{T} x | \end{aligned}

$\begin{align} \min &\mathbf{f}_0^T \mathbf{x} \notag \\ \text{s.t.} &|\mathbf{f}_1^T \mathbf{x}| \leq |\mathbf{f}_2^T \mathbf{x}| \leq \ldots \leq |\mathbf{f}_m^T \mathbf{x}| \end{align}$

Sé que el espacio factible no será convexo y probablemente necesitaré un MILP para resolver el problema. Estoy buscando la menor cantidad de variables binarias que necesitaría y la configuración que resolvería el problema.

Tratar con valores absolutos es generalmente fácil cuando solo un lado de la desigualdad tiene un valor absoluto (http://lpsolve.sourceforge.net/5.1/absolute.htm); Sin embargo, este caso parece ser más complicado.

Gracias de antemano.

optimization linear-programming

— Mohammad Fawaz
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La forma más fácil es agregar valores binarios y resolver $m$ $s_i \in {0,1}$

\begin{aligned} min & f_{0}^{T} x \\ s.t. & 0 \leq (2 s_{i} - 1) f_{i}^{T} x \leq (2 s_{i + 1} - 1) f_{i + 1}^{T} x & \forall i \end{aligned}

$\begin{align} \min &\mathbf{f}_0^T \mathbf{x} \notag \\ \text{s.t.} & 0 \le (2s_i-1) \mathbf{f}^T_i \mathbf{x} \le (2s_{i+1}-1) \mathbf{f}^T_{i+1} \mathbf{x} & \forall i\end{align}$

Creo que (1) no existe nada sustancialmente más rápido o (2) hay un truco especial para reformular como un programa convexo. Probablemente (1).

— Geoffrey Irving
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Puede usar un solucionador para problemas no suaves. Ver http://www.mat.univie.ac.at/~neum/glopt/software_l.html#nonsm

— Arnold Neumaier
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