Los métodos de Monte Carlo en general no pueden competir con la cuadratura adaptativa a menos que tenga una integral de alta dimensión donde no pueda permitirse la explosión combinatoria de los puntos de la cuadratura con la dimensión.
La razón es relativamente fácil de entender. Tomemos, por ejemplo, solo donde es la dimensión del problema. Digamos, por simplicidad, que subdivides cada dimensión en intervalos intermedios, es decir, obtienes celdas de hipercubos en total. Supongamos además que usa una fórmula de Gauss con puntos de Gauss, solo como un ejemplo. Entonces tiene puntos de cuadratura en total, y debido a que los puntos Gauss le proporcionan precisión de orden , , su precisión general en función de los puntos de evaluación será
∫[0,1]nf(x)dnxnMMnkN=(kM)nk(2k−1)e=O(h5)=O(M−(2k−1))
e=O(N−(2k−1)/n).
Por otro lado, los métodos de Monte Carlo generalmente solo le proporcionan convergencia de errores como
que es peor que para cualquier fórmula de Gauss con al menos puntos por intervalo. La razón es relativamente simple de entender: la cuadratura de Gauss elige los puntos de interpolación de una manera inteligente, Monte Carlo no lo es. No se puede esperar nada útil de esto último. (Por supuesto, hay situaciones en las que la cuadratura gaussiana es difícil: por ejemplo, en su caso donde el dominio de integración tiene una forma irregular; pero en ese caso, es probable que aún sea mejor hacer una integración adaptativa o similar).
k > n / 4 + 1 / 2e=O(N−1/2)
k>n/4+1/2
Ahora, hay problemas prácticos (de estabilidad) con la integración con más de, digamos, 8 o 10 puntos por intervalo. Entonces, si quieres , entonces no puedes ir más allá de . Por otro lado, en ese caso, incluso elegir un solo intervalo por dirección ( ) produce puntos de integración, mucho más de lo que podría en una evaluación de por vida. En otras palabras, siempre que pueda evaluar suficientes puntos de integración, la cuadratura en las subdivisiones de su dominio de integración es siempre el enfoque más eficiente. En los casos en los que tiene una integral de alta dimensión para la que no puede evaluar los puntos de integración en una sola subdivisión, las personas usan los métodos de Monte Carlo a pesar de su peor orden de convergencia.n = 30 M = 1 N = 8 30k≤8n=30M=1N=830