La norma euclidiana se usa a menudo basándose en el supuesto de que la distancia euclidiana de dos puntos es una medida razonable de la distancia. Pero a menos que este sea el caso, esta elección no es preferible a una elección adaptada al problema. Por ejemplo, si el tamaño típico de los componentes de un vector es muy diferente (ya que significan cosas muy diferentes), la norma euclidiana es muy pobre, ya que apenas tiene en cuenta los efectos de los cambios en los componentes de tamaño pequeño. En tal caso, uno necesita escalar primero los vectores para que tengan componentes de tamaño similar antes de aplicar normas, o debe usar una norma que escale diferentes componentes de manera diferente.
La normade un vector (y de manera similar para matrices y funciones) es una medida de su tamaño; Esta medida debe adaptarse al significado del problema que está resolviendo. En dimensiones finitas, todas las normas son equivalentes, en el sentido de que describen la misma topología; pero los valores numéricos pueden depender mucho de la norma particular. (Para la topología, lo único de interés es el límite. En finito D esto es independiente de la norma, es decir, en cualquier norma si . Pero qué tan cerca uno es hasta el límite depende mucho de en qué norma lo midas).x ‖ x k - x∥ x ∥X∥ xk- x ∥ → 0lim xk= x
Por lo tanto, uno debe elegir una norma significativa para obtener resultados significativos.
En espacios de dimensiones infinitas (que en particular incluye los espacios de funciones comunes), las normas ya no son equivalentes, y las normas diferentes pueden conducir a topologías diferentes. Ahora uno debe elegir una norma adecuada incluso para obtener resultados finitos, y los términos delimitadores pueden ser imposibles sin una buena elección de la norma.
Como ejercicio, me gustaría sugerirle que compare los valores de la -norm para para una variedad de vectores en parametrizados por , y haga lo mismo en varios espacios de secuencias . Entonces apreciarás las diferencias. Un buen ejemplo es el vector con la entrada , donde . Aquí para la pequeña y la grande (aproxima la suma por una integral)
, que se vuelve infinitamente grande como cuandop = 1 , 2 , ∞ R n n x = ( x 1 , x 2 , … ) i x i = ϵ / i s s > 0 ϵ n ‖ x ‖ p ≈ ϵ 1 - 1 / n p s - 1pagsp = 1 , 2 , ∞Rnortenortex = ( x1, x2, ... )yoXyo= ϵ / iss > 0ϵnorte n→∞p≤1/sp>1/s∥ x ∥pags≈ ϵ 1 - 1 / np s - 1p s - 1n → ∞p ≤ 1 / spero permanece pequeño cuando .p > 1 / s