¿Por qué es especial la dimensión del tiempo?

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En términos generales, he escuchado a analistas numéricos pronunciar la opinión de que

"Por supuesto, matemáticamente hablando, el tiempo es solo otra dimensión, pero aún así, el tiempo es especial"

¿Cómo justificar esto? ¿En qué sentido es el tiempo especial para la ciencia computacional?

Además, ¿por qué a menudo preferimos usar diferencias finitas (que conducen al "paso temporal") para la dimensión temporal, mientras que aplicamos diferencias finitas, elementos finitos, métodos espectrales, ..., para las dimensiones espaciales? Una posible razón es que tendemos a tener un IVP en la dimensión del tiempo y un BVP en las dimensiones espaciales. Pero no creo que esto lo justifique por completo.

pde discretization

— Patricio
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La causalidad indica que la información solo fluye hacia adelante en el tiempo, y los algoritmos deben diseñarse para explotar este hecho. Los esquemas de paso de tiempo hacen esto, mientras que los métodos espectrales globales en el tiempo u otras ideas no lo hacen. La pregunta es, por supuesto, por qué todos insisten en explotar este hecho, pero eso es fácil de entender: si su problema espacial ya tiene un millón de incógnitas y necesita hacer 1000 pasos de tiempo, entonces en una máquina típica hoy tiene suficientes recursos para resolver el problema espacial por sí solo un paso tras otro, pero no tiene suficientes recursos para lidiar con un problema acoplado de incógnitas. $10^9$

La situación tampoco es muy diferente de la que tiene con las discretizaciones espaciales de los fenómenos de transporte. Claro, puede discretizar una ecuación de advección pura 1d utilizando un enfoque globalmente acoplado. Pero si le importa la eficiencia, entonces el mejor enfoque es utilizar un barrido descendente que lleve información desde la entrada al dominio de salida. Eso es exactamente lo que hacen los esquemas de pasos a tiempo.

— Wolfgang Bangerth
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Ese es un buen punto ... ¡la memoria es definitivamente una limitación importante! :)

— Paul

Definitivamente veo el punto de que la causalidad viene naturalmente con diferencias finitas, pero no con el "acoplamiento global". Por el contrario, los "métodos de disparo" para resolver BVP hacen lo contrario. Introduce la causalidad no deseada. Analíticamente hablando, para ciertas ecuaciones (por ejemplo, PDE hiperbólicas de segundo orden) se necesita causalidad para la unicidad. Sin embargo, en algunos casos, no lo es, y supongo que entonces uno también puede hacer métodos espectrales a tiempo. Como usted dice, creo que reducir el tamaño del sistema también es importante. Y tiene más sentido hacer FD a tiempo que en alguna dimensión espacial arbitraria.

— Patrick

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Similar a la causalidad que Wolfgang mencionó en su publicación, podríamos ver la razón por la cual la dimensión del tiempo es especial desde el punto de vista del espacio-tiempo de Minkowski: $\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$

El espacio-tiempo -dimensional tiene un producto interno definido como $(3+1)$ siyson dos formas 1 en el espacio-tiempo de Minkowski: ,se define de manera similar, el La intuición detrás de la definición de un producto interno (o más bien decir, métrica) es imponer la idea de la velocidad de la luz absoluta, de modo que dos puntos (eventos) diferentes en el espacio-tiempo tengan una distancia cero (sucede al "mismo tiempo", como lo somos nosotros). observando el movimiento de galaxias a miles de millones de años luz de distancia como si se estuvieran moviendo en este momento) si están en el mismo cono de luz.

(UNA, si) = {UNA}_{X} {si}_{X} + {UNA}_{y} {si}_{y} + {UNA}_{z} {si}_{z} - \frac{1}{{do}^{2}} {UNA}_{t} {si}_{t}

$(A,B) = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z - \dfrac{1}{c^2}A_t B_t$

A

$A$

B

$B$

A = A_{x} d x + A_{y} d y + A_{z} d z + A_{t} d t

$A = A_x \rd x + A_y \rd y + A_z \rd z + A_t \rd t$

B

$B$

Como puede ver, este producto interno no es definitivo positivo debido a la presencia de la dimensión temporal escalada por la velocidad de la luz , por lo tanto, hablando intuitivamente, al tratar un problema relacionado con una cantidad que se propaga en el espacio-tiempo, no podemos simplemente aplicar teoremas en 3 métrica euclidiana tridimensional a un espacio-tiempo -dimensional, solo piense en las teorías PDE elípticas tridimensionales y sus métodos numéricos correspondientes difieren drásticamente de las teorías hiperbólicas PDE. $c$ $(3+1)$

Tal vez fuera de tema, pero otra diferencia importante entre el espacio y el espacio-tiempo (elíptico versus hiperbólico) es que la mayoría de las ecuaciones elípticas modelan el equilibrio y la elipticidad nos da una regularidad "agradable", mientras que hay todo tipo de discontinuidades en problemas hiperbólicos (shock, rarefacción, etc)

EDITAR: No sé si hay un artículo dedicado sobre la diferencia además de darle la definición, basada en lo que aprendí antes, la ecuación elíptica típica como la ecuación de Poisson o la elasticidad, modela un fenómeno estático, tiene una solución "suave" si los datos y los límites del dominio de interés son "suaves", esto se debe a la elipticidad (o más bien a la propiedad positiva definida) del operador diferencial de gobierno, este tipo de ecuaciones nos lleva a un enfoque de tipo Galerkin muy intuitivo (multiplicar una función de prueba e integración por partes), el elemento finito continuo típico funciona bien. Cosas similares se aplican a la ecuación parabólica como la ecuación de calor, que es esencialmente una ecuación elíptica que marcha en el tiempo, tiene una propiedad de "suavizado" similar, una esquina afilada inicial se suavizará con el tiempo,

Para un problema hiperbólico, normalmente derivado de una ley de conservación, es "conservador" o "dispersivo". Por ejemplo, la ecuación de advección lineal, que describe ciertos flujos de cantidad con un campo vectorial, conserva cómo es inicialmente esta cantidad específica, solo se mueve espacialmente a lo largo de este campo vectorial, las discontinuidades se propagarán. La ecuación de Schrodinger, otra ecuación hiperbólica, sin embargo, es dispersiva, es la propagación de una cantidad compleja, un estado inicial no oscilatorio se convertirá en diferentes paquetes de ondas oscilatorias con el tiempo.

Como mencionó "paso de tiempo", podría pensar que la cantidad "fluye" en los "campos" de tiempo con una cierta velocidad como causalidad, muy similar a la ecuación de advección lineal BVP, solo tenemos que imponer la condición de límite de entrada, es decir, cómo es la cantidad cuando fluye hacia el dominio de interés, y la solución nos dirá cómo es la cantidad cuando fluye, una idea muy similar a cada método que utiliza el paso del tiempo. Resolver una ecuación de advección 2D en el espacio es como resolver un problema de propagación unilateral 1D en el espacio-tiempo. Para esquemas numéricos, puede buscar en Google sobre espacio-tiempo FEM.

— Shuhao Cao
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Debo decir que la mayoría de lo que dices está por encima de mi cabeza. Pero el último párrafo fue muy interesante y definitivamente da una idea. ¿Tiene un enlace a (espacio y espacio-tiempo) vs (elíptico e hiperbólico)?

— Patrick

@Patrick Gracias por el interés, he editado más en mi respuesta.

— Shuhao Cao

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Si bien hay algunas excepciones (por ejemplo, métodos de elementos finitos completamente discretos), la discretización temporal generalmente implica una dependencia inherentemente secuencial en el flujo de información. Esta dependencia restringe los algoritmos semi-discretos (BVP en el espacio, IVP en el tiempo) para calcular soluciones a subproblemas de manera secuencial. Esta discretización generalmente se prefiere por su simplicidad y porque ofrece al analista muchos algoritmos bien desarrollados para una mayor precisión tanto en el espacio como en el tiempo.

Es posible (y más simple) usar diferencias finitas en dimensiones espaciales también, pero los métodos de elementos finitos ofrecen una flexibilidad más fácil en el tipo de dominio de interés (por ejemplo, formas no regulares) que los métodos de diferencias finitas. Una "buena" elección de discretización espacial a menudo depende mucho del problema.

— Paul
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