¿Qué hay de bueno en los solucionadores sin derivados para SDE?

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Estoy tratando de familiarizarme con los SDE y he estado leyendo algunos artículos de revisión sobre el tema. Dejan la impresión de que se ha dedicado una gran cantidad de trabajo a los solucionadores sin derivados. A mi entender, esto significa que para un DDE como las derivadas de y no son necesarios para el método (corrígeme si estoy equivocado).

d X = f (X) d t + g (X) d W,

$\newcommand\diff{\mathop{}\!\mathrm{d}} \diff X = f(X)\diff t + g(X) \diff W,$

f

$f$

g

$g$

Puedo entender que esta propiedad es útil en algunas aplicaciones donde la derivada es difícil o computacionalmente inviable de obtener o no existe. Sin embargo, no esperaría que tales problemas sean muy relevantes en la aplicación.

Esto me sugiere que se aplica al menos uno de los siguientes:

Hay una ventaja adicional relevante para los solucionadores sin derivados que me falta.
Los problemas donde se requieren solucionadores sin derivados (debido a la razón anterior) son más relevantes de lo que creo que son.
La demanda de solucionadores sin derivados es menor que la "oferta", es decir, la atención que les brindan aquellos que desarrollan solucionadores.

Cual es

stochastic stochastic-ode

— Wrzlprmft
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Puedo entender que esta propiedad es útil en algunas aplicaciones donde la derivada es difícil o computacionalmente inviable de obtener o no existe. Sin embargo, no esperaría que tales problemas sean muy relevantes en la aplicación.

Si no se conoce una solución analítica para la derivada, es muy costosa y propensa a errores. Calcular el jacobiano es entradas, pero las técnicas de diferenciación numérica necesitarán realizar múltiples llamadas de función por entrada. Luego, para hacerlo bien, las técnicas de diferenciación numérica tienen que dividirse por un pequeño número al calcular la derivada, lo que causa muchos problemas numéricos. $n^2$

Con las herramientas de autodiferenciación, este costo se reduce, pero aún puede ser significativo. Entonces, cuando no se prescriben analíticos jacobianos, generalmente es bueno mantenerse alejado de los métodos que requieren derivados.

Sin embargo, no esperaría que tales problemas sean muy relevantes en la aplicación.

Para la mayoría de las cosas, como los SPDE no lineales o los grandes sistemas de SDE (1000) que provienen de la biología, obtener la escritura jacobiana puede ser casi imposible y propenso a errores. Yo diría que es al revés: esperar que se proporcione un jacobiano analítico no es una buena idea.

También hay algunas ventajas adicionales. Los métodos Runge-Kutta son métodos libres de derivados y pueden hacer una gran cantidad de optimización de coeficientes.

La demanda de solucionadores sin derivados es menor que la "oferta", es decir, la atención que les brindan aquellos que desarrollan solucionadores.

Ese no es el caso. En DifferentialEquations.jl , los métodos libres de derivados se implementaron antes que los métodos KPS Stochastic Taylor Series porque, para la mayoría de los usuarios, conducirá a una mayor facilidad de uso y a un mayor rendimiento. Dicho esto, en el campo de las ecuaciones diferenciales, siempre puedes encontrar un contraejemplo donde ese no sea el caso, así que planeo implementar algunos métodos que explícitamente usen derivados. Sin embargo, estoy seguro de que la mayoría de los usuarios probablemente solo usarán los métodos libres de derivados porque la carga cognitiva en su extremo es mucho menor.

— Chris Rackauckas
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No soy un experto en ecuaciones diferenciales específicamente estocásticas, pero supongo que mi respuesta seguirá siendo de algún valor.

El cálculo de la derivada puede ser un desafío, como mencionó en su pregunta. Sin embargo, esto sería aún más pronunciado en un caso multidimensional, ya que habría que calcular matrices jacobianas ( entradas). Por lo tanto, los solucionadores sin derivados no sufrirán la maldición de la dimensionalidad. La situación empeora aún más cuando se requieren derivados de orden superior para un esquema. $n^2$
El cálculo de una derivada por sí mismo generalmente amplifica el ruido numérico. Entonces, por ejemplo, si la función subyacente ( o ) no es analítica, el error en la derivada podría distorsionar completamente la solución. $f$ $g$

— Anton Menshov
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Gracias por su respuesta. Con respecto al punto 1: Sí, tendría que calcular el jacobiano, pero en la mayoría de los casos puedo pensar que sería escaso, si no cero (al menos para ). Con respecto al punto 2: ¿Qué tipo de aplicación tiene no analítica o ?

g

$g$

f

$f$

g

$g$

— Wrzlprmft

Exigir que el usuario proporcione un patrón de dispersión para obtener un rendimiento decente es una buena manera para que la mayoría de los usuarios tengan un mal rendimiento. La mayoría de los usuarios solo quieren un "solucionador automático de SDE" para la mayoría de los problemas, como lo que Dormand-Prince ofrece, por lo que necesitar esa cantidad de información en el "método más básico" es una baja en la usabilidad.

— Chris Rackauckas

Sí, el jacobiano podría ser escaso. La pregunta es cuán escaso es, cuán fácil es determinar el patrón de escasez y cuántas funciones de evaluación se necesitarían para calcularlo en comparación con un método libre de derivadas. En cuanto al "ruido numérico". También surgirá con funciones analíticas, pero no tan severas (pero lo suficientemente desafiantes desde el punto de vista informático como para buscar esquemas libres de derivados). Funciones no analíticas? Difícil de responder cuáles son de utilidad en el mundo estocástico de DE. Como especialista en ecuaciones integrales, siempre uso la función de Green como ejemplo.

— Anton Menshov