Usos de los mapas de series de poder

Soy del campo de la física del acelerador, específicamente relacionado con anillos circulares de almacenamientopara fuentes de luz sincrotrón. Los electrones de alta energía circulan alrededor del anillo, guiados por campos magnéticos. Los electrones circulan miles de millones de veces y uno quiere predecir la estabilidad. Puede describir el movimiento de los electrones en un punto del anillo en términos de espacio de fase (posición, espacio de momento). Cada vuelta alrededor del anillo, la partícula vuelve a una nueva posición e impulso, y esto define un mapa en el espacio de fase llamado "mapa de una vuelta". Podemos suponer que hay un punto fijo en el origen, por lo que puede expandirse en una serie de potencias. Por lo tanto, uno quiere saber sobre la estabilidad de los mapas de series de potencia iterados. Hay muchas preguntas difíciles sobre esto, y el tema tiene una historia antigua. Se han implementado numerosas bibliotecas para implementar el denominado Álgebra de la serie Truncated Power. (Ver p. Ej.este artículo sobre zlib por Y. Yan. Más antecedentes sobre la física y un enfoque para el análisis es el enfoque de forma normal, por ejemplo, Bazzani et. Alabama. aquí .) La pregunta es cómo usar una biblioteca de este tipo y cómo resolver el problema de estabilidad. El enfoque principal utilizado en la dinámica del haz ha sido el análisis de forma normal, que no creo que haya tenido éxito. Me pregunto si se ha desarrollado algún tipo de método espectral en otros campos (tal vez en la línea de algo como esto?) ¿Alguien puede pensar en otro dominio donde se analice la estabilidad a largo plazo de los mapas de series de potencia iteradas con un punto fijo en el origen, para que podamos compartir conocimientos u obtener nuevas ideas? Un ejemplo que conozco es el trabajo de Fishman y "Modos de aceleración" en física atómica. ¿Hay otros? ¿Qué otros sistemas se pueden modelar como un rotor pateado o un mapa de Henon?

algorithms polynomials

— Booz
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Creo que podría ser útil elaborar un poco sobre su terminología. Por ejemplo, estoy familiarizado con todos los conceptos matemáticos que mencionó, pero no puedo visualizar lo que quiere decir en este contexto con "un mapa del espacio de fases". Estoy seguro de que en su campo particular esto no requiere explicación, pero las personas de otras especialidades pueden darse cuenta de que realmente saben cómo ayudarlo si hace un poco más de explicación de lo que quiere decir.

— Colin K

Ese es un buen punto en realidad: dado que presumiblemente este sitio reunirá a personas de muchas disciplinas científicas diferentes, será especialmente importante definir términos específicos de campo (o al menos un enlace a explicaciones).

— David Z

De acuerdo, Collin y David. Gracias por los comentarios. El espacio de fase es espacio de posición-momento. Piense en una posición en el anillo, y el electrón tiene una posición transversal y momento (velocidad). Después de dar la vuelta al anillo una vez, tendrá una nueva posición y velocidad. Entonces se llama un mapa de una vuelta. Si fuera lineal, sería como un oscilador armónico, que traza una elipse en el espacio de fase. Para el caso donde es circular, el mapa tendría la forma x_1 = cos (theta) x_0 + sin (theta) p_0 y p_1 = -sin (theta) x_0 + cos (theta) p_0. ¿Eso aclara?

— Boaz

Agregué algunas referencias a la literatura en física y computación del haz, y agregué una breve definición del espacio de fase.

— Booz

Por cierto, hice una pregunta similar en Stack Exchange, Mathematics, aquí . Allí estaba preguntando sobre soluciones a la cuestión de la estabilidad desde un punto de vista matemático. Aquí, me preguntaba si existe el mismo problema en otras materias científicas, ya que parece algo general, pero no se ha conectado mucho fuera de la dinámica del haz. Un área que conozco son los modos de acelerador en física atómica. ¿Hay otros?

— Booz

Respuestas:

Probablemente ya lo sepas, pero ¿parece algo del mundo de la teoría del caos y los fractales? (por lo tanto, es computacionalmente "difícil")

A su pregunta, ¿ha visto el mundo de la mecánica planetaria y los problemas del cuerpo N? Estos también se ven obligados a usar soluciones iterativas, y la física subyacente fundamental es N ^ 2, aunque a las fuentes de fuerza también se les permite moverse, para complicar aún más las cosas.

Hace mucho tiempo que no los miro, pero su mención de los mapas de fase de estabilidad suena muy similar a Henon Maps. Estoy seguro de que deben tener aplicaciones más amplias, pero generalmente se describen en términos de estabilidad planetaria (por ejemplo, la estabilidad de una segunda luna en un sistema planeta-luna).

— winwaed
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Sí, el mapa de Henon es exactamente el tipo de cosas que tenemos en la dinámica del haz del acelerador. El problema con la analogía con el problema del cuerpo N es que el espacio es mucho más grande allí. El "espacio de fase" es 6xN dimensional, mientras que para la partícula individual en un anillo de almacenamiento es solo 6-dimensional en el caso general. Tengo curiosidad acerca de qué otros dominios terminan con algo como un mapa de Henon para modelar la dinámica. A lo largo de la ruta de la teoría del caos, también pensé en investigar la teoría de la dinámica de la población. Gracias por la respuesta.

— Booz el

Podrías mirar el comportamiento asintótico de discreto sistemas dinámicos . Hay una rica literatura teórica sobre este tema en matemáticas y más literatura aplicada en física y ciencias de la computación.

— MRocklin
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Gracias mrocklin. He examinado un poco la literatura general y no he encontrado una solución, o tal vez era demasiado matemática, y no encontré el mismo problema planteado de una manera que pudiera entenderlo.

— Boaz

Aquí hay algunas preguntas de este campo: (1) ¿Forma órbitas, es decir, después de varias iteraciones, regresa al mismo lugar? (2) ¿Su sistema es sensible a pequeñas perturbaciones, es decir, si iniciamos un estado un poco fuera de su estado de inicio, terminará en un lugar completamente diferente? (3) ¿Algunos tipos de perturbaciones actúan salvajemente mientras que otros son mansos? Proporcionar respuestas a este tipo de preguntas puede proporcionar una idea de las propiedades de su sistema físico.

— MRocklin

(1) Cerca del origen, la dinámica es estable y forma órbitas cerradas. Yendo más lejos, a veces se encuentran otras islas de estabilidad. Y luego, aún más lejos, la dinámica es inestable, es decir, ilimitada. (2) Algunos aspectos son sensibles y otros no. Las órbitas estables no son tan sensibles a ningún tipo de perturbación. (3) Las perturbaciones suelen actuar periódicamente con cierta frecuencia. Algunas frecuencias causan resonancias que pueden cambiar drásticamente la dinámica incluso para pequeñas perturbaciones. Pero saber de antemano qué frecuencias son peligrosas no se entiende bien.

— Booz

Puede ser útil analizar los métodos del modelo Taylor; Este parece ser un buen artículo general. Prueba si COSY infinity puede hacer lo que quieres.

— Erik P.
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Gracias Erik Sí, estoy algo familiarizado con COSY infinity. El artículo al que se vincula parece útil para obtener una visión general de los métodos de uso de las series de potencias para calcular diferentes funciones y para encontrar límites en los errores, etc. cómo se resuelve la región de estabilidad. No creo que los métodos de forma normal puedan hacerlo, por ejemplo. Ha sido un tema influyente en la dinámica del haz, pero no veo que haya resuelto el problema.

— Booz