¿Cuáles son las diferencias entre la estimación de error 'a priori' y 'posteriori' en el análisis numérico?

He aprendido sobre el método de elementos finitos (también un poco sobre otros métodos numéricos) pero no sé cuáles son exactamente la definición de estos dos errores y las diferencias entre ellos.

Las estimaciones de error generalmente tienen la forma donde u es la solución exacta que le interesa, u_h es una solución aproximada calculada, h es un parámetro de aproximación que puede controlar y C (h) es alguna función de h (entre otras cosas). En los métodos de elementos finitos, u es la solución de una ecuación diferencial parcial y u_h sería la solución de elementos finitos para una malla con un tamaño de malla h , pero tiene la misma estructura en problemas inversos (con el parámetro de regularización \ alpha en lugar de hu u h h C ( h ) h u u h h α

La diferencia entre las estimaciones a priori y posterior está en la forma del lado derecho $C(h)$ :

• En estimaciones a priori , el lado derecho depende de (generalmente explícitamente) , pero no de . Por ejemplo, una estimación típica a priori para la aproximación de elementos finitos de la ecuación de Poisson tendría la forma con una constante dependiendo de la geometría del dominio y la malla. En principio, el lado derecho se puede evaluar antes de calcular (de ahí el nombre), por lo que podrá elegir antes de resolver cualquier cosa. En la práctica, ni ni se conocen (u u h - Δ u = f ‖ u - u h ‖ L 2 ≤ c h 2 | u | H 2 , c u h h c | u | H 2 u c | u | f $h$$u$$u_h$$-\Delta u = f$

  $$\|u-u_h\|_{L^2} \leq c h^2 |u|_{H^2},$$ $c$$u_h$$h$$c$$|u|_{H^2}$$u$es lo que está buscando en primer lugar), pero a veces puede obtener estimaciones de orden o magnitud para revisando cuidadosamente las pruebas yutilizando los datos (que se conoce). El uso principal es como una estimación cualitativa: le dice que si desea reducir el error en un factor de cuatro, debe reducir a la mitad .$c$$|u|$$f$$h$

• En estimaciones a posteriori , el lado derecho depende de y , pero no de . Una estimación posterior basada en un residuo simple para la ecuación de Poisson sería que podría La teoría se evaluará después de calcular . En la práctica, la norma es problemática de calcular, por lo que manipularía aún más el lado derecho para obtener un elemento enlazado en sentido $h$$u_h$$u$

  $$\|u-u_h\|_{L^2} \leq c h \|f+\Delta u_h\|_{H^{-1}},$$ $u_h$$H^{-1}$ $$\|u-u_h\|_{L^2} \leq c \left(\sum_{K} h_K^2 \|f+\Delta u_h\|_{L^2(K)} + \sum_{F} h_K^{3/2} \|j(\nabla u_h)\|_{L^2(F)}\right),$$ donde la primera suma es sobre los elementos de de la triangulación, es el tamaño de , la segunda suma es sobre todos los límites del elemento , y denota el salto de la derivada normal de través . Esto ahora es totalmente computable después de obtener , excepto por la constante . Entonces, nuevamente, el uso es principalmente cualitativo: le dice qué elementos dan una contribución de error más grande que otros, por lo que en lugar de reducir uniformemente, simplemente selecciona algunos elementos con grandes contribuciones de error y los hace más pequeños subdividiéndolos. Esta es la base de$K$$h_K$$K$$F$$j(\nabla u_h)$$u_h$$F$$u_h$$c$$h$Métodos adaptativos de elementos finitos .