observaciones puntuales vs. continuas en el problema inverso de PDE

Trabajo en un problema inverso para mi Ph.D. investigación, que por simplicidad diremos que determina en$\beta$

$L(\beta)u \equiv -\nabla\cdot(k_0e^\beta\nabla u) = f$

de algunas observaciones ; es una constante y se conoce . Esto normalmente se formula como un problema de optimización para extremizark 0$u^o$$k_0$$f$

$J[u, \lambda; \beta] = \frac{1}{2}\int_\Omega(u(x) - u^o(x))^2dx + \int_\Omega\lambda(L(\beta)u - f)dx$

donde es un multiplicador de Lagrange. La derivada funcional de con respecto a se puede calcular resolviendo la ecuación adjuntaJ $\lambda$$J$$\beta$

$L(\beta)\lambda = u - u^o.$

Se agrega algo de regularización funcional al problema por las razones habituales.$R[\beta]$

El supuesto implícito es que los datos observados se definen de forma continua en todo el dominio . Creo que podría ser más apropiado para mi problema usar en su lugar$u^o$$\Omega$

$J[u, \lambda; \beta] = \sum_{n = 1}^N\frac{(u(x_n) - u^o(x_n))^2}{2\sigma_n^2} + \int_\Omega\lambda(L(\beta)u - f)dx$

donde son los puntos en los que se toman las mediciones y es la desviación estándar de la -ésima medición. Las medidas de este campo son a menudo trozos irregulares y faltantes; ¿Por qué interpolar para obtener un campo continuo de dudosa fidelidad si eso puede evitarse?σ n$x_n$$\sigma_n$$n$

Esto me da una pausa porque la ecuación adjunta se convierte en

$L(\beta)\lambda = \sum_{n = 1}^N\frac{u(x_n) - u^o(x_n)}{\sigma_n^2}\delta(x - x_n)$

donde es la función delta de Dirac. Estoy resolviendo esto usando elementos finitos, por lo que, en principio, integrar una función de forma contra una función delta equivale a evaluar la función de forma en ese punto. Aún así, los problemas de regularidad probablemente no deberían descartarse sin más. Mi mejor suposición es que el objetivo funcional debe definirse en términos de la aproximación de elementos finitos a todos los campos, en lugar de en términos de los campos reales y luego discretizar después.$\delta$

No puedo encontrar ninguna comparación de asumir mediciones continuas o puntuales en problemas inversos en la literatura, ya sea en relación con el problema específico en el que estoy trabajando o en general. A menudo, las mediciones puntuales se utilizan sin mencionar los incipientes problemas de regularidad, por ejemplo, aquí . ¿Hay algún trabajo publicado que compare los supuestos de las mediciones continuas frente a las puntuales? ¿Debería preocuparme las funciones delta en el caso puntual?

Las medidas de este campo son a menudo trozos irregulares y faltantes; ¿Por qué interpolar para obtener un campo continuo de dudosa fidelidad si eso puede evitarse?

Tiene toda la razón: la mayoría de las veces, la interpolación a un campo continuo que cubre todo el dominio no es una opción. Piense en los problemas de predicción del clima, donde las mediciones (fuentes puntuales) están disponibles solo en ubicaciones de dominio seleccionadas. Diría que los datos puntuales son más la norma que la excepción cuando se consideran problemas inversos de la "vida real".

Mi mejor conjetura es que el objetivo funcional debe definirse en términos de la aproximación de elementos finitos a todos los campos ( discretizar-luego-optimizar ), en lugar de en términos de los campos reales y luego discretizar después ( optimizar-luego-discretizar ).

Los dos enfoques no son equivalentes (excepto por problemas muy simples). Existe una gran cantidad de literatura que compara los dos enfoques (cada uno con sus ventajas y desventajas). Te diría hacia la monografía de Max Gunzburger (en particular al final del capítulo 2).

¿Hay algún trabajo publicado que compare los supuestos de las mediciones continuas frente a las puntuales? ¿Debería preocuparme las funciones delta en el caso puntual?

Puede representar sus términos fuente exactamente, es decir, su término fuente se modelará como una (aproximación discreta a) Distribución de Dirac [ Arraya et al., 2006 ], o puede aproximar el término fuente mediante alguna función regularizada (como se hace , por ejemplo, en el método de límite inmerso ). Eche un vistazo (para empezar) a este reciente artículo de Hosseini et al. (y referencias en el mismo).

Para ampliar la respuesta de @ GoHokies: Si le interesan las preguntas de regularidad, también puede preguntar qué son realmente las "mediciones puntuales". En la práctica física, no se puede medir nada en un "punto". Más bien, siempre obtendrá algún tipo de promedio sobre algún tipo de fragmento de espacio-tiempo: un termómetro no es un punto, sino un objeto extendido, y lleva tiempo ajustarse a la temperatura del medio que lo rodea; un dispositivo de medición de concentración necesita un tamaño de muestra finito; etc.

Lo que esto significa matemáticamente es que las funciones delta en su funcional son, en realidad, promedios sobre áreas y / o intervalos de tiempo suficientemente pequeños. En consecuencia, los lados derechos en la ecuación dual también son finitos, y no surgen problemas de regularidad.

Por supuesto, en la práctica, normalmente no podrá resolver el espacio pequeño o los intervalos de tiempo en los que mide con una malla de elementos finitos. Es decir, en escalas de longitud se puede resolver, la derecha hace mirada singular, y por lo tanto también lo hace la solución. Pero, dado que ya está introduciendo un error de discretización, también puede regularizar la función característica del volumen sobre el cual mide mediante una aproximación discreta con el mismo peso; si lo hace bien, introducirá un error que no es mayor que el error de discretización, con el beneficio de recibir una función del lado derecho perfectamente agradable para la ecuación dual (discreta).