Eigenspace base continua dependiendo de los parámetros

Tengo una matriz hermitiana que depende de dos parámetros, digamos e . Cuando lo diagonalizo en dos puntos cercanos y obtengo dos valores propios cercanos ( y ) y dos espacios propios correspondientes ( y ) de la misma dimensión . $\mathbf{H}$ $x$ $y$ $(x_1,y_1)$ $(x_2,y_2)$ $\varepsilon_1$ $\varepsilon_2$ $S_1$ $S_2$

Tenga en cuenta que no son valores propios de la misma matriz. Hay dos matrices diferentes: y . $\mathbf{H}_1=\mathbf{H}(x_1,y_1)$ $\mathbf{H}_2=\mathbf{H}(x_2,y_2)$

Tengo una malla de puntos y quiero encontrar el valor propio y el espacio propio en cualquier punto mediante interpolación. El problema es que, dado que las matrices se diagonalizan numéricamente, las bases de y son completamente independientes. Incluso si y están muy cerca, los vectores base pueden tener componentes muy diferentes. $(x_i,y_i)$ $S_1$ $S_2$ $(x_1,y_1)$ $(x_2,y_2)$

Para la interpolación, necesito una base que dependa de e continuamente, es decir, cuanto más cerca estén los propios y más cerca deberían estar los vectores base. $x$ $y$ $S_1$ $S_2$

Si y son planicies en el espacio euclidiano tridimensional, entonces una buena manera de seleccionar una base en S2 es rotar la base de S1 alrededor de la línea que es la intersección de las planicies. ¿Hay algo análogo a esto en el complejo espacio multidimensional? $S_1$ $S_2$

eigensystem discretization

— Maksim Zholudev
fuente

Para simplificar, suponga que solo hay un parámetro lugar de los dos. $t$

Para poder tener espacios propios continuos, debe suponer que los valores propios asociados casi no se cruzan. (Para valores propios casi cruzados, puede suceder que los espacios propios se intercambien esencialmente aunque las curvas de valores propios no se toquen. Esto sucede regularmente en problemas simétricos de valores propios paramétricos y se denomina fenómeno de cruces evitados).

Si el espacio propio de al valor propio continuo es el espacio de columna de cuando , debe asumir una forma con fijo las funciones (p. ej., B-splines) y son una de las , y luego ajustan las matrices de coeficientes y (el espacio propio de baja dimensión transforma en la ecuación aproximada . Este es un problema lineal de mínimos cuadrados que es fácil de resolver. $H(t)$ $\lambda(t)$ $Q_k$ $t=t_k$ $Q(t)=Q_0+\sum_j \Phi_j(t) Z_j$ $\Phi_j(t)$ $Q_0$ $Q_k$ $Z_j$ $Y_k$ $Q_k Y_k - \sum_j \Phi_j(t_k) Z_j \approx Q_0$

Con 2 parámetros, reemplace las splines B por funciones de forma FEM. Su problema de mínimos cuadrados ahora puede volverse grande y se necesitan trucos adicionales adecuados para que el problema sea solucionable si la solución directa no es factible.

— Arnold Neumaier
fuente

¡Gracias por la respuesta! Sin embargo, no todo está claro para mí. 1) ¿ depende de ? Si no, ¿por qué hay una suma? 2) ¿Es una transformación lineal dentro del espacio propio ?

Φ

$\Phi$

j

$j$

Y_{k}

$Y_k$

Q_{k}

$Q_k$

— Maksim Zholudev

Corregí el índice faltante de las funciones básicas. Sí, cambia la base dentro del eigenspace.

Y_{k}

$Y_k$

k

$k$

— Arnold Neumaier