Prueba de integrador simpléctico de tercer orden versus cuarto orden con resultado extraño


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En mi respuesta a una pregunta sobre MSE con respecto a una simulación de física hamiltoniana en 2D, he sugerido usar un integrador simpléctico de orden superior .

Entonces pensé que podría ser una buena idea demostrar los efectos de diferentes pasos de tiempo en la precisión global de los métodos con diferentes órdenes, y escribí y ejecuté un script Python / Pylab para ese efecto. Para comparar, elegí:

Lo extraño es que, cualquiera que sea el paso de tiempo que elija, el método de tercer orden de Ruth parece ser más preciso en mi prueba que el método de cuarto orden de Ruth, incluso por un orden de magnitud.

Mi pregunta es por lo tanto: ¿qué estoy haciendo mal aquí? Detalles abajo.

Los métodos despliegan su fuerza en sistemas con Hamiltonianos separables , es decir, aquellos que pueden escribirse como

H(q,p)=T(p)+V(q)
donde q comprende todas las coordenadas de posición, p comprende el momento conjugado, T representa cinética energía y energía potencial V

En nuestra configuración, podemos normalizar fuerzas y momentos por las masas a las que se aplican. Así, las fuerzas se convierten en aceleraciones, y los momentos se convierten en velocidades.

Los integradores simplécticos vienen con coeficientes especiales (dados, constantes) que denominaré a1,,an y b1,,bn . Con esos coeficientes, un paso para evolucionar el sistema de tiempo t a tiempo t+δt toma la forma

  • Para i=1,,n :

    1. Calcule el vector g de todas las aceleraciones, dado el vector q de todas las posiciones
    2. Cambiar el vector v de todas las velocidades por bigδt
    3. Cambiar el vector q de todas las posiciones por aivδt

La sabiduría ahora reside en los coeficientes. Estos son

[a1a2b1b2]=[121201](leap2)[a1a2a3b1b2b3]=[2323172434124](ruth3)[a1a2a3a4b1b2b3b4]=1223[12123212321201231](ruth4)

y+y=0y(0)=1y(0)=0
(y(t),y(t))=(cost,sint)
(q,v)(y,y)

He integrado el IVP con los métodos anteriores sobre con un tamaño de paso de con un entero elegido en algún lugar entre y . Teniendo en cuenta la velocidad de leap2 , tripliqué para ese método. Luego tracé las curvas resultantes en el espacio de fase y amplié la imagen en donde las curvas deberían llegar idealmente de nuevo a .t[0,2π]δt=2πNN10100N(1,0)t=2π

Aquí hay gráficos y zooms para y :N=12N=36

N = 12N = 12, ampliado

N = 36N = 36, ampliado

Para , leap2 con tamaño de paso llega más cerca de casa que ruth4 con tamaño de paso . Para , ruth4 gana sobre leap2 . Sin embargo, ruth3 , con el mismo tamaño de paso que ruth4 , llega mucho más cerca de casa que los otros, en todos los entornos que he probado hasta ahora.N=122π3N2πNN=36

Aquí está el script Python / Pylab:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def symplectic_integrate_step(qvt0, accel, dt, coeffs):
    q,v,t = qvt0
    for ai,bi in coeffs.T:
        v += bi * accel(q,v,t) * dt
        q += ai * v * dt
        t += ai * dt
    return q,v,t

def symplectic_integrate(qvt0, accel, t, coeffs):
    q = np.empty_like(t)
    v = np.empty_like(t)
    qvt = qvt0
    q[0] = qvt[0]
    v[0] = qvt[1]
    for i in xrange(1, len(t)):
        qvt = symplectic_integrate_step(qvt, accel, t[i]-t[i-1], coeffs)
        q[i] = qvt[0]
        v[i] = qvt[1]
    return q,v

c = np.math.pow(2.0, 1.0/3.0)
ruth4 = np.array([[0.5, 0.5*(1.0-c), 0.5*(1.0-c), 0.5],
                  [0.0,         1.0,          -c, 1.0]]) / (2.0 - c)
ruth3 = np.array([[2.0/3.0, -2.0/3.0, 1.0], [7.0/24.0, 0.75, -1.0/24.0]])
leap2 = np.array([[0.5, 0.5], [0.0, 1.0]])

accel = lambda q,v,t: -q
qvt0 = (1.0, 0.0, 0.0)
tmax = 2.0 * np.math.pi
N = 36

fig, ax = plt.subplots(1, figsize=(6, 6))
ax.axis([-1.3, 1.3, -1.3, 1.3])
ax.set_aspect('equal')
ax.set_title(r"Phase plot $(y(t),y'(t))$")
ax.grid(True)
t = np.linspace(0.0, tmax, 3*N+1)
q,v = symplectic_integrate(qvt0, accel, t, leap2)
ax.plot(q, v, label='leap2 (%d steps)' % (3*N), color='black')
t = np.linspace(0.0, tmax, N+1)
q,v = symplectic_integrate(qvt0, accel, t, ruth3)
ax.plot(q, v, label='ruth3 (%d steps)' % N, color='red')
q,v = symplectic_integrate(qvt0, accel, t, ruth4)
ax.plot(q, v, label='ruth4 (%d steps)' % N, color='blue')
ax.legend(loc='center')
fig.show()

Ya he verificado si hay errores simples:

  • No hay error tipográfico en Wikipedia. He comprobado las referencias, en particular ( 1 , 2 , 3 ).
  • Tengo la secuencia de coeficientes correcta. Si compara con los pedidos de Wikipedia, tenga en cuenta que la secuencia de la aplicación del operador funciona de derecha a izquierda. Mi numeración está de acuerdo con Candy / Rozmus . Y si intento otro pedido, los resultados empeoran.

Mis sospechas:

  • Orden de tamaño incorrecto: tal vez el esquema de tercer orden de Ruth tiene constantes implícitas mucho más pequeñas, y si el tamaño del paso se hiciera realmente pequeño, ¿ganaría el método de cuarto orden? Pero incluso he intentado , y el método de tercer orden sigue siendo superior.N=360
  • Prueba incorrecta: ¿Algo especial sobre mi prueba permite que el método de tercer orden de Ruth se comporte como un método de orden superior?

¿Puedes dar valores numéricos de errores? Es un poco difícil saber de la trama. ¿Cómo se escalan los errores con el cambio de ? ¿Se escalan como se espera de las órdenes de los métodos? Por lo general, uno trazaría errores contra en un diagrama de registro para registrar esto. NN
Kirill

@ Kirill: trabajando en eso. Lo editaré pronto.
ccorn

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Una cosa de la que sospecho es la elección de una rhs lineal: los errores de truncamiento de los métodos generalmente dependen de una derivada alta de la rhs, por lo que si todas las derivadas altas de rhs desaparecen, es posible que observe un comportamiento de convergencia extraño. Probablemente valga la pena probar una HR más inusual.
Kirill

Respuestas:


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Siguiendo la sugerencia de Kirill , ejecuté la prueba con de una lista de valores que aumentan aproximadamente geométricamente, y para cada calculé el error como donde representa la aproximación obtenido por integración numérica. Aquí está el resultado en un gráfico log-log:NN

ϵ(N)=z~(2π)z~(0)2wherez~(t)=(y~(t),y~(t))
z~

ingrese la descripción de la imagen aquí

Entonces, ruth3 tiene el mismo orden que ruth4 para ese caso de prueba y constantes implícitas de solo la magnitud.41100

Interesante. Tendré que investigar más, quizás probando otras pruebas.

Por cierto, aquí están las adiciones al script de Python para el diagrama de error:

def int_error(qvt0, accel, qvt1, Ns, coeffs):
    e = np.empty((len(Ns),))
    for i,N in enumerate(Ns):
        t = np.linspace(qvt0[2], qvt1[2], N+1)
        q,v = symplectic_integrate(qvt0, accel, t, coeffs)
        e[i] = np.math.sqrt((q[-1]-qvt1[0])**2+(v[-1]-qvt1[1])**2)
    return e

qvt1 = (1.0, 0.0, tmax)
Ns = [12,16,20,24,32,40,48,64,80,96,128,160,192,
      256,320,384,512,640,768,1024,1280,1536,2048,2560,3072]

fig, ax = plt.subplots(1)
ax.set_xscale('log')
ax.set_xlabel(r"$N$")
ax.set_yscale('log')
ax.set_ylabel(r"$\|z(2\pi)-z(0)\|$")
ax.set_title(r"Error after 1 period vs #steps")
ax.grid(True)
e = int_error(qvt0, accel, qvt1, Ns, leap2)
ax.plot(Ns, e, label='leap2', color='black')
e = int_error(qvt0, accel, qvt1, Ns, ruth3)
ax.plot(Ns, e, label='ruth3', color='red')
e = int_error(qvt0, accel, qvt1, Ns, ruth4)
ax.plot(Ns, e, label='ruth4', color='blue')
ax.legend(loc='upper right')
fig.show()

No es relevante para la pregunta, pero ¿puede incluir cambios y actualizaciones en la pregunta en lugar de publicarla como una respuesta separada? Esto mantendría la convención de que las respuestas deberían responder la pregunta.
Kirill

1
@ Kirill: es una respuesta. ruth3 de hecho tiene un orden superior y constantes menores aquí. Descubierto por su sugerencia de hacer un diagrama de error de log-log. Por lo tanto, la pregunta se responde, y decididamente no cambiaré el punto de una pregunta una vez que haya sido respondida, ni siquiera si la respuesta ha sido compuesta por mí.
ccorn

Dicho esto, me complacería aceptar más análisis. (Las preguntas con respuesta propia se aceptan automáticamente, pero supongo que se puede cambiar).
ccorn

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Lo miré un poco y no pude encontrar una explicación convincente. Esta convergencia de 4to orden de ruth3 tiene mucho que ver con las condiciones iniciales: intente configurar e intente no integrarse durante un período completo (ni medio período). Una cosa que puede suceder fácilmente es que el error de truncamiento tiene algún componente de "media cero" que se cancela cuando se integra a un período completo. También probé para verificar si esto tiene algo que ver con que tenga pocas derivadas altas, pero en mis pruebas parece que las condiciones iniciales y la periodicidad tienen más que ver con esto. p00V(q)=1/q+logqV
Kirill el

2
Esta es una muestra de superconvergencia. Problemas de prueba simples como este terminan teniendo este problema en muchos casos. El uso de una ecuación lineal puede dar este comportamiento, y muchas veces los términos extraños de una serie de Taylor pueden cancelarse cuando eso sucede. Es mucho menos probable que ocurra un problema de prueba no lineal sin una solución analítica.
Chris Rackauckas

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Trazar el error de , en todo el intervalo, escalado por la potencia del tamaño de paso dado por el orden esperado, da las gráficasq¨=qq(0)=1,q˙(0)=0

ingrese la descripción de la imagen aquí

Como era de esperar, los gráficos para aumentar el número de subintervalos se acercan cada vez más a una curva límite, que es el coeficiente de error principal. En todas las parcelas menos una, esta convergencia es visiblemente rápida, casi no hay divergencia. Esto significa que incluso para tamaños de paso relativamente grandes, el término de error principal domina todos los demás términos.

En el método de Ruth de tercer orden, el coeficiente principal del componente parece ser cero, la curva límite visible es cercana o igual al eje horizontal. Los gráficos visibles muestran claramente el dominio del término de error de cuarto orden. Escalar para un error de 4to orden da una gráfica similar a las otras.p

Como se puede ver, en los 3 casos el coeficiente de error del orden inicial en el componente es cero en después de un período completo. Al combinar los errores de ambos componentes, el comportamiento del componente domina, dando falsamente la impresión de un método de cuarto orden en el diagrama de registro.qt=2πp

Se puede encontrar un coeficiente máximo en el componente alrededor de . El diagrama de registro debe reflejar los pedidos de error global correctos.q3π/2


Que la desaparición del término de error de tercer grado en Ruth3p es un artefacto de la simplicidad de la ecuación lineal muestra el ejemplo no lineal , con las parcelas correspondientesq¨=sin(q)q(0)=1.3, q˙(0)=0

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