En la ecuación de onda:
¿Por qué multiplicamos primero por una función de prueba antes de integrar?
En la ecuación de onda:
¿Por qué multiplicamos primero por una función de prueba antes de integrar?
Respuestas:
Estás llegando al revés. La justificación se ve mejor comenzando desde la configuración variacional y trabajando hacia la forma fuerte. Una vez que haya hecho esto, el concepto de multiplicar por una función de prueba e integrar puede aplicarse a problemas en los que no comienza con un problema de minimización.
Considere el problema donde queremos minimizar (y trabajando formalmente y no rigurosamente aquí):
sujeto a algunas condiciones de contorno en . Si queremos que este I alcance un mínimo, debemos diferenciarlo con respecto a usted , que es una función. Hay varias formas bien consideradas de considerar este tipo de derivado, pero una forma de introducirlo es calcular
donde es solo un escalar. Puede ver que esto es similar a la definición tradicional de una derivada para funciones escalares de una variable escalar, pero extendida a funciones como I que devuelven los escalares pero tienen su dominio sobre las funciones.
Si calculamos esto para nuestro (principalmente usando la regla de la cadena), obtenemos
Al establecer esto en cero para encontrar el mínimo, obtenemos una ecuación que se parece a la declaración débil de la ecuación de Laplace:
Ahora, si usamos la Divergence Theorm (también conocida como integración multidimensional por partes), podemos quitar una derivada de y ponerla en u para obtener
Ahora, esto realmente parece donde comienzas cuando quieres construir una declaración débil a partir de una ecuación diferencial parcial. Dada esta idea ahora, puede usarla para cualquier PDE, simplemente multiplique por una función de prueba, integre, aplique el Teorema de divergencia y luego discretice.