Elementos de Raviart-Thomas en el cuadrado de referencia


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Me gustaría aprender cómo funciona el elemento Raviart-Thomas (RT). Con ese fin, me gustaría describir analíticamente cómo se ven las funciones básicas en el cuadrado de referencia. El objetivo aquí no es implementarlo yo mismo, sino simplemente obtener una comprensión intuitiva del elemento.

Estoy basando en gran medida este trabajo en los elementos triangulares discutidos aquí , tal vez extenderlo a cuadriláteros es un error en sí mismo.

Dicho esto, puedo definir las funciones básicas para el primer elemento RK RK0:

parai=1,,4.

ϕi(x)=a+bx=(a1+b1xa2+b2y)
i=1,,4.

Las condiciones en son que:ϕi

ϕi(xj)nj=δij

donde es la unidad normal que se muestra a continuación, y x j es su coordenada.njxj

RT0

Este es el cuadrado de referencia , por lo que esto conduce a un sistema de ecuaciones para cada función base. Para ϕ 1 esto es:[1,1]×[1,1]ϕ1

(1010010110100101)(a1a2b1b3)=(1000)

que se puede resolver para dar:

ϕ1(x)=12(1+x0)

Las otras funciones básicas se pueden encontrar de manera similar.

Suponiendo que esto sea correcto, el siguiente paso es encontrar las funciones básicas para RK1. Aquí es donde me estoy poniendo un poco inseguro de mí mismo. Según el enlace de arriba, el espacio que nos interesa es:

P1(K)+xP1(K)

Una base para sería { 1 , x , y }P1{1,x,y}

Creo que esto significa que las funciones básicas de RK1 deberían tomar la forma:

ϕi(x)=(a1+b1x+c1y+d1x2+e1xya2+b2x+c2y+d2xy+e2y2)

Esto deja 10 incógnitas para cada función básica. Si aplicamos las mismas condiciones que en el caso RK0, a saber:

, donde n j es la unidad normal como se muestra a continuación:

ϕi(xj)nj=δij
nj

RK1

Esto nos da 8 ecuaciones. Los otros 2, creo, se pueden encontrar en algunos momentos. No estoy realmente seguro de cómo exactamente. El enlace de arriba habla sobre la integración contra una base para , pero tengo problemas para entender qué significa eso. ¿Estoy en el camino correcto o me he perdido algo por completo aquí?[P1]2

Respuestas:


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En general, no puede simplemente transferir la misma base polinómica de elementos tetraédricos a cuadriláteros. 1 En particular, el objetivo de los elementos cuadriláteros es trabajar con productos tensoriales de polinomios unidimensionales, lo que no es posible para los elementos tetraédricos.

RTk

Pk+1,k×Pk,k+1,
Pk,l={i=0kj=0laijxiyj:aijR}.
k=0k=1
(a1+b1x+c1x2+d1y+e1xy+f2x2ya2+b2y+c2y2+d2x+e2xy+f2xy2).
dimRT1=12dimRTk=2(k+1)(k+2)RTkk+1

1111ϕi(x,y)qj(x,y)dxdx=δij,
{qj}Pk1,k×Pk,k1{1,x,y}k=1
emϕi(s)Tνemqm,j(s)ds,
emνemmqm,jPk(em){1,x}{1,y}k=1

H(div)


kkkkx2y32


Muchas gracias por tu respuesta, obviamente te esfuerzas mucho. Creo que eso aclara muchos de mis conceptos erróneos.
Lukas Bystricky

ϕ1k=0141+x,0Tϕ1y

Me alegra que lo hayas encontrado útil; tu pregunta es interesante y también gastaste mucho esfuerzo. El soporte compacto proviene del hecho de que los polinomios solo se definen en el elemento de referencia; recuerde que Raviart-Thomas son elementos conformes con H (div) y, por lo tanto, las funciones en el espacio global de elementos finitos no necesitan ser continuos.
Christian Clason

En realidad, esto solo es cierto para las funciones básicas conectadas a los grados de libertad interiores: las funciones básicas (globales) conectadas a los grados de libertad del borde tienen soporte (solo) en los dos elementos conectados por el borde; en cada otro elemento, se establecen en cero.
Christian Clason

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En realidad, en realidad: para los elementos de borde, solo el trazo normal debe ser continuo, no el polinomio en sí mismo, por lo que incluso eso debe ser atendido automáticamente sin extender el soporte. Si necesita más detalles sobre el espacio global de Raviart-Thomas, le sugiero que amplíe su pregunta y trataré de ampliar mi respuesta.
Christian Clason
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