Verificación en problemas de valor propio

Comencemos con un problema de la forma

(L + k^{2}) u = 0

$(\mathcal{L} + k^2) u=0$

con un conjunto de condiciones límite dadas ( Dirichlet , Neumann , Robin , Periódico , Bloch-Periódico ). Esto corresponde a encontrar los valores propios y los vectores propios para algún operador $\mathcal{L}$ , bajo cierta geometría, y condiciones de contorno. Uno puede obtener un problema como este en acústica, electromagnetismo, elastodinámica, mecánica cuántica, por ejemplo.

Sé que se puede discretizar el operador utilizando diferentes métodos, por ejemplo, métodos de diferencias finitas para obtener

[A] {U} = k^{2} {U}

$[A]\{U\} = k^2 \{U\}$

o usando métodos de elementos finitos para obtener

[K] {U} = k^{2} [M] {U} .

$[K]\{U\} = k^2 [M]\{U\} \enspace .$

En un caso, obtener un problema de valor propio y un problema de valor propio generalizado en el otro. Después de obtener la versión discreta del problema, se utiliza un solucionador para el problema de valor propio.

Algunos pensamientos

El método de Soluciones Manufacturadas no es útil en este caso ya que no existe un término fuente para equilibrar la ecuación.
Se puede verificar que las matrices y están bien capturadas utilizando un problema de dominio de frecuencia con el término fuente, por ejemplo $[K]$ $[M]$

$[\nabla^{2} + ω^{2} / c^{2}] u (ω) = f (ω), \forall ω \in [ω_{min}, ω_{max}]$ $[\nabla^2 + \omega^2/c^2] u(\omega) = f(\omega) \enspace ,\quad \forall \omega \in [\omega_\min, \omega_\max]$
en lugar de

$[\nabla^{2} + k^{2}] u = 0 .$ $[\nabla^2 + k^2] u = 0 \enspace .$
Pero esto no verificará los problemas del solucionador.
Tal vez, uno puede comparar soluciones para diferentes métodos, como FEM y FDM.

Pregunta

¿Cuál es la forma de verificar las soluciones (pares de valores propios y vectores propios) para esquemas de discretización debido a métodos numéricos como FEM y FDM para problemas de valores propios?

— nicoguaro
fuente

¿Puedes comparar tus resultados con los espectros de casos conocidos (cuadrado, cubo, círculo, esfera)? También hay tasas de convergencia esperadas para los vectores propios y los valores propios en las normas apropiadas que puede verificar (aunque estas tasas tienden a variar según la frecuencia; consulte journals.cambridge.org/action/… )

— Jesse Chan,

Sí, puedes comparar con soluciones analíticas. Pero normalmente se proporcionan para casos realmente simples. La pregunta es sobre cómo hacer el proceso de verificación. Si hay algo similar al método, oh soluciones fabricadas. O si combina este método para otros problemas con soluciones analíticas.

— nicoguaro

En una dimensión, si comienza con

deseado y tiene

, podría intentar descomponer

, si tal

existe, y luego correr con

. Supongo que esto puede estropear las simetrías de

y otras propiedades. Aquí

k, v

$k,v$

(L + k^{2}) v = w \neq 0

$(\mathcal{L}+k^2)v = w \neq0$

w = f v + g v^{'}

$w = fv+gv'$

f, g

$f,g$

L^{'} = L - f - g \partial

$\mathcal{L}'=\mathcal{L}-f-g\partial$

L

$\mathcal{L}$

v

$v$

v^{'}

$v'$ debe ser linealmente independiente y no puede desaparecer en el mismo punto.

— Kirill

@JesseChan, gracias por la lectura sugerida. Me tomó algo de tiempo pero lo leí. No creo que proporcionen suficiente información para el propósito deseado.

— nicoguaro

Quiero estar seguro de que te he entendido correctamente. ¿Desea saber cómo estimar la distancia entre pares propios calculados para el operador discreto (matriz o matrices) y el par propio correspondiente para el operador suave? ¿O desea ahora cómo estimar la precisión con la que ha resuelto un problema de valor propio discreto?

— Carl Christian

Respuestas:

Me doy cuenta de que esta pregunta es antigua, pero la acabo de ver y me parece interesante. En el pasado, he seguido las sugerencias encontradas en los comentarios de esta pregunta, junto con algunos casos un poco más complicados con los que estoy familiarizado en la literatura (Orr - Sommerfeld siempre es útil).

Sin embargo, también estoy al tanto de cierta literatura sobre los problemas de valor propio no homogéneos que surgen al construir una solución fabricada. Aquí hay una discusión sobre tales problemas: DOI: 10.1016 . Estos autores también sugieren un llamado Método de Secciones Transversales Manufacturadas (MXS, supongo) para evitar este problema por completo, que no pretendo entender por el momento, pero podría muy bien ser útil.

— Spencer Bryngelson
fuente

Lo que proponen como "problema de valor propio no homogéneo" es el enfoque que propuse en mi publicación original. Sin embargo, todavía estoy tratando de entender el Método de las secciones transversales fabricadas.

— nicoguaro

Me doy cuenta de eso, simplemente sugiriendo que existe cierta literatura para tales problemas, por lo que podría no ser un callejón sin salida como usted sugirió: "Soluciones fabricadas no es útil en este caso ya que no hay un término fuente para equilibrar la ecuación".

— Spencer Bryngelson

No es una crítica de tu publicación. ¡Todo lo contrario! Solo estoy comentando lo que encontré después de leer la referencia para promover la discusión.

— nicoguaro

Para la derivada de segundo orden (y el Laplaciano en dominios simples), las expresiones para los pares propios discretos (es decir, después de la discretización) están disponibles. Por ejemplo, para diferencias finitas, los pares propios se enumeran aquí .

La expresión para los pares propios con una discretización de elementos finitos se puede encontrar de manera similar (para la discretización P1 y P2).

— usuario7440
fuente