¿Cómo muestrear puntos en el espacio hiperbólico?

El espacio hiperbólico en el modelo de medio espacio superior de Poincaré parece $\Bbb R^n$ ordinario pero con la noción de ángulo y distancia distorsionada de una manera relativamente simple. En el espacio euclidiano, puedo muestrear un punto aleatorio uniformemente en una bola de varias maneras, por ejemplo, generando $n$ muestras gaussianas independientes para obtener una dirección, y muestrear por separado una coordenada radial $r$ muestreando uniformemente $s$ de $\left[0, \frac1{n+1}R^{n+1}\right]$ , donde $R$ es el radio y el ajuste $r = \left((n+1)s\right)^{\frac1{n+1}}$ . En el medio plano hiperbólico superior, una esfera sigue siendo una esfera, solo que su centro no será el centro en la métrica euclidiana, por lo que podríamos hacer lo mismo.

Si queremos muestrear de acuerdo con una distribución no uniforme, pero aún de manera isotrópica, por ejemplo, una distribución gaussiana, esto no parece tan fácil. En el espacio euclidiano, podríamos generar una muestra gaussiana para cada coordenada (esto solo funciona para la distribución gaussiana), o generar de manera equivalente una muestra gaussiana multidimensional. ¿Hay alguna forma directa de convertir esta muestra en una muestra en espacio hiperbólico?

Un enfoque alternativo podría ser generar primero una dirección distribuida uniformemente (por ejemplo, a partir de $n$ muestras gaussianas) y luego una muestra gaussiana para el componente radial, y finalmente generar la imagen bajo el mapa exponencial en la dirección especificada para la longitud especificada. Una variación sería simplemente tomar la muestra gaussiana euclidiana y mapearla bajo el mapa exponencial.

Mis preguntas:

¿Cuál sería una manera buena y eficiente de obtener una muestra gaussiana con media y desviación estándar dada en el espacio hiperbólico?
¿Las formas que describo anteriormente proporcionan el muestreo deseado?
¿Alguien resolvió la fórmula ya?
¿Cómo se generaliza esto a otras métricas y otras distribuciones de probabilidad?

Gracias por adelantado.

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Me acabo de dar cuenta de que incluso en el caso del muestreo uniforme estas preguntas permanecen; aunque una esfera es una esfera, una distribución uniforme no se describiría por una función constante en una bola.

— doetoe
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@yes gracias por tu comentario. En cada espacio topológico tienes el álgebra sigma de Borel, generado por la topología. Una métrica riemanniana le da una noción de volumen. Si el volumen total es finito, esto se puede normalizar para dar una distribución de probabilidad, o más generalmente le da de manera directa distribuciones de probabilidad uniformes en conjuntos medibles de volumen finito. Dado que tiene una estructura geométrica, incluida la noción de geodésicas y longitudes de arco, también podría definir distribuciones gaussianas por una densidad de probabilidad que decaiga por la distancia de la misma manera que en el espacio euclidiano

— doetoe

@yes Puede ser más fácil tomar muestras alrededor del centro de la pelota en el modelo de pelota y luego transportarla a través de una isometría, al menos las rotaciones euclidiana e hiperbólica alrededor del centro coinciden. Si este es realmente el más eficiente, la cuestión se reduciría a cómo realizar un muestreo alrededor del centro en el modelo de disco de acuerdo con la distribución normal de la métrica hiperbólica.

— doetoe

Debería poder adaptar el múltiple MCMC riemanniano de Mark Girolami para generar muestras aquí. Pero puede ser exagerado. Haces MCMC, pero generas propuestas disparando geodésicas desde el punto actual.

— Nick Alger

@NickAlger que suena interesante, ¿tienes un enlace?

— doetoe

Aquí está su artículo principal al respecto. Transforman el problema del muestreo de una distribución no uniforme en el espacio plano en un problema de muestreo de una distribución uniforme en un distribuidor, mientras que se comienza con una distribución uniforme en el distribuidor. rss.onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1111/…

— Nick Alger

Estoy en medio de hacer esto por mí mismo. Creo que el análogo más apropiado para el gaussiano sería el núcleo de calor en el espacio hiperbólico. Afortunadamente, esto se ha descubierto antes: https://www.math.uni-bielefeld.de/~grigor/nog.pdf (también disponible en un Boletín de la London Mathematical Society ).

$e^{-dist^2/constant}$

{(\frac{2}{1 - El | El | X El | {El |}^{2}})}^{norte} re X_{1} ... re X_{norte}

$\left(\frac{2}{1-||x||^2} \right)^n \, dx_1 \, \ldots \, dx_n$

Aquí hay una muestra uniforme para la bola de radio 3 centrada en el origen:

Si lo desea, me gustaría decir más. Solo pensé en poner esto, ya que claramente había algo de interés en esto, al menos en el pasado.

— Edward Chien
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¡Gracias! Todavía no tuve tiempo para estudiar el artículo que me gustó, pero parece interesante y relevante

— doetoe

σ / 2

$\sigma / 2$

La constante pi es solo una constante en el espacio euclidiano. El valor de pi es diferente en otras geometrías. El parámetro pi cambia la masa de probabilidad bajo el gaussiano. El parámetro pi se usa para normalizar las probabilidades. Estoy empezando a estudiar esto.

Hace un tiempo concluí que el espacio cambia de hiperbólico a euclidiano a esférico a medida que aumenta el número de sigmas. Me alegró encontrar una discusión de círculos en cada espacio y pi en función de los espacios Lp a través del parámetro p.

— David W Locke
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