Discretización de elementos finitos en el espacio-tiempo para PDE dependientes del tiempo

En la literatura de FEM, los métodos semi-variacionales se usan típicamente en la solución de PDE dependientes del tiempo. No he visto un enfoque completamente variacional, es decir, donde el espacio y el tiempo son discretizados por FEM, quizás permitiendo el uso de mallas de espacio-tiempo no estructuradas. Aunque los métodos de paso de tiempo pueden ser más fáciles de implementar, ¿hay alguna razón particular por la cual la malla espacio-tiempo no sea viable? Me imagino que uno tiene que adaptar las mallas para respetar las propiedades físicas de un problema determinado, pero no estoy seguro.

La discretización total del espacio-tiempo de las ecuaciones diferenciales parciales dependientes del tiempo es realmente una cosa. Si usa una malla estructurada en el tiempo (en el sentido de que la discretización del tiempo no depende del espacio) y la elección adecuada de las funciones de prueba y prueba, puede ajustar varios métodos estándar de paso de tiempo (Crank-Nicolson, Euler implícito o algún Runge) -Kutta esquemas) en un marco de Galerkin, que ofrece un enfoque elegante para el análisis. Esto se describe, por ejemplo, en el libro de Thomée, Métodos de elementos finitos de Galerkin para problemas parabólicos (Springer, 2ª ed., 2006) o en las estimaciones de errores de Chrysafinos y Walkington para los métodos de Galerkin discontinuos para ecuaciones parabólicas (SIAM J. Numer. Anal 44.1, 349-366, 2006).

Usar una malla completamente desestructurada es menos común, pero puede tener sentido para problemas hiperbólicos en los que tiene un transporte de información a lo largo de las características. Si usa una formulación discontinua de Galerkin, cada elemento espacio-tiempo solo se acopla con el elemento vecino a través de términos faciales (no tiene requisitos de continuidad global), y puede usar un proceso de barrido para calcular la solución yendo de un elemento a otro a lo largo de las características - una especie de paso en el tiempo "oblicuo". Por supuesto, esto es mucho más difícil de implementar, incluso si no requiere almacenar la malla de espacio-tiempo completa (lo que puede ser prohibitivo). Por otro lado, obtiene la ventaja de las mallas no estructuradas de permitir el refinamiento local (adaptativo) y, por lo tanto, el paso del tiempo localmente adaptativo.Métodos de elementos finitos espacio-temporales para elastodinámica: formulaciones y estimaciones de errores , Métodos informáticos en mecánica aplicada e ingeniería 66 (3): 339-363, 1988 . También hay una tesis doctoral de Shripat Thite sobre la malla de espacio-tiempo para los métodos discontinuos de Galerkin .

Otro contexto en el que he visto esta idea es en la optimización restringida por PDE para problemas parabólicos. Allí puede formular las condiciones de optimización necesarias de primer orden como un sistema acoplado de ecuaciones hacia adelante y hacia atrás, que puede interpretar como la formulación mixta de una ecuación elíptica de segundo orden en el tiempo, cuarto orden en el espacio con inicial-final (y condiciones de borde. Al hacer una discretización adaptativa de espacio-tiempo de este sistema acoplado, puede tener un enfoque eficiente de una sola vez para calcular la solución, vea Gong, Hinze, Zhou: aproximación de elementos finitos espacio-tiempo de problemas de control óptimo parabólico , J Numer. Matemáticas. 20 (2): 111-145 (2012) .

Hay documentos más recientes sobre métodos de espacio-tiempo. Hay uno de Steinbach, Space-Time Finite Element y otro de Langer et. Al, el análisis isogeométrico espacio-temporal aborda todos los problemas de evolución parabólica. En ambos artículos, describen vívidamente las formulaciones variacionales pero en diferentes entornos. Como sugieren los títulos, el primero usa FEM y el último IgA. Creo que esto proporciona buena información, particularmente sobre lo que busca.

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La implementación de espacio-tiempo del producto tensor es muy diferente a la de los no basados ​​en tensor. Esto último es un poco complicado, especialmente para el FEM.