¿Se puede usar el método de líneas para discretizar todas las PDE?

He descubierto que el método de líneas es una forma muy natural de pensar acerca de la discretización de las PDE. Por lo tanto, siempre tengo esa mentalidad predeterminada cuando se me presenta un nuevo conjunto de ecuaciones. Nunca he visto un PDE donde esto no funcionaría.

Lo que me pregunto es si hay métodos de discretización (o tipos de PDE) que no pueden formularse a través del método de líneas. Espero que cualquier PDE donde la derivada del tiempo esté implícita en la ecuación y no pueda resolverse sería uno de esos casos (aunque no conozco ningún ejemplo real de esto). Estoy buscando razonamientos sobre por qué el método de líneas siempre es aplicable o un contraejemplo.

Una situación en la que el enfoque habitual del método de líneas no se puede utilizar de manera directa es con ecuaciones que tienen derivadas mixtas de espacio-tiempo. Por "enfoque habitual del método de líneas", me refiero a la discretización de las derivadas espaciales seguido aplicación de un método Runge-Kutta o lineal de varios pasos. Esto generalmente se aplica solo a sistemas de PDE de evolución de primer orden (en el tiempo).

Un ejemplo de ecuaciones con tales derivados mixtos es la ecuación. (2.1) de http://epubs.siam.org/doi/pdf/10.1137/060676064 .

En al menos algunos casos, es posible reescribir ecuaciones tales como sistemas de PDE de evolución de primer orden, pero no veo inmediatamente una forma de hacerlo aquí. Puede haber otros trucos para aplicar el método de líneas a tales ecuaciones, pero no sé de ellos.