¿Qué pasa con esta simple estimación de error para PDE lineal?

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Sea un dominio Lipschitz convexo poligonalmente limitado en , deje . $\Omega$ $\mathbb R^2$ $f \in L^2(\Omega)$

Entonces, la solución del problema de Dirichlet en , on tiene una solución única en y está bien planteada, es decir, para alguna constante tenemos . $\Delta u = f$ $\Omega$ $\operatorname{trace} u = 0$ $\partial\Omega$ $H^2$ $C$ $\|u\|_{H^2} \leq C \|f\|_{L^2}$

Para alguna aproximación de elementos finitos $u_h$ , digamos, con elementos nodales en una cuadrícula uniforme, tenemos la estimación del error

$\| u - u_h \|_{H^1} \leq C h \| u \|_{H^2}$

Parece (tal vez estoy equivocado con eso) que las personas generalmente no usan la estimación de error obvia

$\| u - u_h \|_{H^1} \leq C h \| f \|_{L^2}$

que podemos obtener mediante la combinación de las dos desigualdades anteriores. En cambio, los estimadores de error a posteriori se desarrollan en varias formas. La única objeción que puedo imaginar contra la ecuación anterior es que la constante $C$ podría en la práctica ser demasiado pesimista o no confiablemente estimable.

pde finite-element error-estimation

— shuhalo
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La razón por la cual las personas prefieren usar la primera estimación, en mi opinión, es que la primera surge naturalmente de la ortogonalidad de Galerkin del FEM, la propiedad de aproximación de interpolación y, lo más importante, la coercitividad de la forma bilineal (para el problema del valor límite de la ecuación de Poisson , es equivalente a la desigualdad de Poincaré / Friedrichs para las funciones ): $H^1_0$

\begin{aligned} ‖ tu - {tu}_{h} ‖_{H^{1} (Ω)}^{2} & \leq C_{1} ‖ \nabla (tu - {tu}_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)}^{2} \\ ‖ \nabla (tu - {tu}_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)}^{2} & = \int_{Ω} \nabla (tu - {tu}_{h}) \cdot \nabla (tu - {tu}_{h}) \\ = \int_{Ω} \nabla (tu - {tu}_{h}) \cdot \nabla (tu - yo tu) \\ \leq ‖ \nabla (tu - {tu}_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)} ‖ \nabla (tu - yo tu) ‖_{L^{2} (Ω)} \\ \Rightarrow ‖ \nabla (tu - {tu}_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)} & \leq ‖ \nabla (tu - yo tu) ‖_{L^{2} (Ω)} \leq C_{2} h ‖ tu ‖_{H^{2} (Ω)} \end{aligned}

$\begin{aligned} \|u - u_h\|^2_{H^1(\Omega)} &\leq c_1 \| \nabla (u - u_h) \|^2_{L^2(\Omega)} \\ \| \nabla (u - u_h) \|^2_{L^2(\Omega)} &= \int_{\Omega} \nabla(u- u_h)\cdot \nabla(u- u_h) \\ &= \int_{\Omega} \nabla(u- u_h)\cdot \nabla(u- \mathcal{I}u) \\ &\leq \| \nabla (u - u_h) \|_{L^2(\Omega)} \| \nabla (u - \mathcal{I}u) \|_{L^2(\Omega)} \\ \Rightarrow \| \nabla (u - u_h) \|_{L^2(\Omega)} &\leq \| \nabla (u - \mathcal{I}u) \|_{L^2(\Omega)} \leq c_2 h\| u\|_{H^2(\Omega)} \end{aligned}$ donde depende de la constante en la desigualdad de Poincaré / Friedrichs para las funciones , es la interpolación de en el finito elemento espacio, y

c_{1}

$c_1$

H_{0}^{1}

$H^1_0$

I u

$\mathcal{I}u$

u

$u$

c_{2}

$c_2$ depende de los ángulos mínimos de la malla.

Mientras que la estimación de regularidad elíptica está únicamente en el nivel PDE, no tiene nada que ver con la aproximación, más el argumento anterior, se mantiene incluso cuando es una distribución. $\|u \|_{H^2(\Omega)}\leq c\|f\|_{L^2(\Omega)}$ $f\in H^{-1}$

Ahora pasemos a la razón por la cual las estimaciones de error a posteriori se usan ampliamente, principalmente porque:

Es computable, no hay una constante genérica en la expresión de las estimaciones.
El estimador tiene su forma local, que podría ser el indicador de error local que se utiliza en el procedimiento de refinación de malla adaptativa. Por lo tanto, el problema con singularidades o geometrías realmente "malas" podría ser tratado.

Las dos estimaciones de tipo a priori que usted enumeró son válidas, nos proporcionan la información de los órdenes de convergencia, sin embargo, ninguna de ellas podría ser un indicador de error local solo para un triángulo / tetraedro, porque ninguna de ellas es computable debido a la constante , ni se definen localmente.

EDITAR: Para obtener una visión más general de la FEM para PDE elípticas, recomiendo leer el Capítulo 0 en el libro de Brenner y Scott: La teoría matemática de los métodos de elementos finitos , que consta de solo 20 páginas y cubre brevemente casi todos los aspectos de los métodos de elementos finitos. , desde la formulación de Galerkin del PDE, hasta la motivación por la que nos gustaría utilizar FEM adaptativo para abordar algún problema. Espero que esto te ayude más.

— Shuhao Cao
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Su estimación es demasiado pesimista en dos frentes. Ya ha identificado el primero ( ahora no solo incluye la constante de interpolación sino también la constante de estabilidad). El segundo es que la estimación del error realmente lee Tenga en cuenta que el lado derecho tiene el , no la norma. Por supuesto, puede atar los rhs por la norma completa, pero pierde de nuevo de esta manera. $C$

‖ \nabla mi ‖_{L_{2}} \leq C h El | tu {El |}_{H^{2}} .

$\|\nabla e\|_{L_2} \le C \;h\; |u|_{H^2}.$

H^{2}

$H^2$

— Wolfgang Bangerth
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