Si necesita derivados de orden superior, no obtendrá buenos resultados utilizando puntos de datos equidistantes. Si puede muestrear su función en nodos arbitrarios, recomendaría usar puntos Chebyshev, es decir,
xk=cos(πkn),k=0…n
n
Puede evaluar el polinomio de forma estable utilizando la interpolación baricéntrica . Tenga en cuenta que dado que está utilizando un polinomio de alto grado en todo el intervalo, probablemente necesitará menos puntos de datos. Tenga en cuenta también que esto supone que sus datos pueden ser representados por un polinomio, es decir, son continuos y suaves.
Obtener derivados de orden superior del interpolante es un poco complicado y está mal condicionado para derivados altos. Sin embargo, se puede hacer usando polinomios de Chebyshev . Sin embargo, en Matlab / Octave (lo siento, mi Python no es bueno en absoluto), puede hacer lo siguiente:
% We will use the sine function as a test case
f = @(x) sin( 4*pi*x );
% Set the number of points and the interval
N = 40;
a = 0; b = 1;
% Create a Vandermonde-like matrix for the interpolation using the
% three-term recurrence relation for the Chebyshev polynomials.
x = cos( pi*[0:N-1]/(N-1) )';
V = ones( N ); V(:,2) = x;
for k=3:N, V(:,k) = 2*x.*V(:,k-1) - V(:,k-2); end;
% Compute the Chebyshev coefficients of the interpolation. Note that we
% map the points x to the interval [a,b]. Note also that the matrix inverse
% can be either computed explicitly or evaluated using a discrete cosine transform.
c = V \ f( (a+b)/2 + (b-a)/2*x );
% Compute the derivative: this is a bit trickier and relies on the relationship
% between Chebyshev polynomials of the first and second kind.
temp = [ 0 ; 0 ; 2*(N-1:-1:1)'.*c(end:-1:2) ];
cdiff = zeros( N+1 , 1 );
cdiff(1:2:end) = cumsum( temp(1:2:end) );
cdiff(2:2:end) = cumsum( temp(2:2:end) );
cdiff(end) = 0.5*cdiff(end);
cdiff = cdiff(end:-1:3);
% Evaluate the derivative fp at the nodes x. This is useful if you want
% to use Barycentric Interpolation to evaluate it anywhere in the interval.
fp = V(:,1:n-1) * cdiff;
% Evaluate the polynomial and its derivative at a set of points and plot them.
xx = linspace(-1,1,200)';
Vxx = ones( length(xx) , N ); Vxx(:,2) = xx;
for k=3:N, Vxx(:,k) = 2*xx.*Vxx(:,k-1) - Vxx(:,k-2); end;
plot( (a+b)/2 + (b-a)/2*xx , [ Vxx*c , Vxx(:,1:N-1)*cdiff ] );
El código para calcular la derivada se puede volver a aplicar varias veces para calcular derivadas más altas.
Si usa Matlab, puede estar interesado en el proyecto Chebfun , que hace la mayor parte de esto automáticamente y de qué partes del ejemplo de código anterior se tomaron. Chebfun puede crear un interpolante a partir de literalmente cualquier función, por ejemplo, continua, discontinua, con singularidades, etc. y luego calcular su integral, derivada, usarla para resolver EDO, etc.
k=4
en la llamada ascipy.interpolate.UnivariateSpline
, entonces la spline es cuártica.