Funciones periódicas de Green en métodos de ecuaciones integrales en diferentes regímenes de frecuencia

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Estoy preguntando sobre la solución de la ecuación de Helmholtz en un dominio periódico con velocidad de onda constante por partes en diferentes regímenes de frecuencia. Un enfoque posible para resolver este problema es escribir ecuaciones integrales en las superficies límite en términos de la función del sistema de Green. Como el dominio es periódico, esta será una función periódica de Green como donde es un vector reticular y es algo así como

G (r, r^{'}) = \sum_{L} G_{0} (r, r^{'} + L)

$G(r,r') = \sum_L G_0(r,r'+L)$

L

$L$

G_{0}

$G_0$

Mi pregunta se refiere a cómo el costo computacional de este método se escala con la frecuencia (). ¿Se vuelve computacionalmente más difícil a bajas o altas frecuencias debido a la necesidad de incluir más términos en la suma de la red?

G_{0} (r, r^{'}) = \frac{e^{i k (r - r^{'})}}{| r - r^{'} |}

$G_0(r,r') = \frac{e^{ik(r-r')}}{|r-r'|}$

k

$k$

Editar : La gente parece estar respondiendo preguntas diferentes a la que estoy preguntando. Debo aclarar que no estoy interesado en implementar dicho método. Simplemente estoy preguntando sobre las dificultades teóricas, como antecedentes para comprender las fortalezas y (más) debilidades del método en diferentes regímenes de frecuencia. Los tipos de problemas que tengo en mente son (más o menos) modos de computación de matrices periódicas de guías de onda.

integral-equations helmholtz-equation

— Victor Liu
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Las propiedades de desintegración de la función de Green dependen, entre otras cosas, de los coeficientes en sus ecuaciones. Por ejemplo, las guías de ondas de dimensiones más bajas generalmente transportan información a largas distancias, y es posible que tenga que sumar muchos términos para una buena precisión.

Las alternativas son escribir la función de Green como una suma de senos y cosenos que ya satisfacen las condiciones de contorno periódicas, o como una suma de funciones propias del operador.

— Wolfgang Bangerth
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Aunque nunca lo he implementado, la sabiduría convencional que he escuchado es que la suma espacial converge muy lentamente y es preferible usar la transformación de Ewald, por ejemplo, http://w3.uniroma1.it/lovat/giampiero/Documentipdf/IJ24 .pdf

Probablemente haya un montón de documentos sobre este tema en las transacciones IEEE.

— rchilton1980
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