Método de elementos finitos vs Método de elementos finitos extendidos (FEM vs XFEM)

¿Cuáles son las principales diferencias entre FEM y XFEM? ¿Cuándo deberíamos (no) usar XFEM intead de FEM y viceversa? En otras palabras, cuando encuentro un nuevo problema, ¿cómo puedo saber cuál de ellos debo usar?

— Anh-Thi DINH
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La mayoría de las veces me he encontrado con XFEM, fue para tratar con discontinuidades relacionadas con la propagación de grietas y fracturas en la mecánica de sólidos. Sin embargo, realmente no lo he visto fuera de esta aplicación.

— Paul

En realidad, todavía hay muchos otros campos que también usan XFEM para resolver. Esa es la razón por la que necesito saber la forma de reconocer este método cada vez que empiezo a resolver un problema.

— Anh-Thi DINH

Respuestas:

El Método de Elementos Finitos (FEM) es el método padre que ha inspirado muchos, muchos otros métodos y métodos que en realidad son FEM pero fingen no serlo.

En el método de elementos finitos, las "funciones de forma" se utilizan para proporcionar un espacio de aproximación para que la solución pueda ser representada por un vector. En el FEM clásico, estas funciones de forma son polinomios.

En el Método de elementos finitos extendidos (XFEM), se utilizan funciones adicionales de "enriquecimiento" para aproximar la solución, además de las funciones de forma polinómica. Estas funciones de enriquecimiento se eligen para tener propiedades que se sabe que la solución sigue.

Las funciones de enriquecimiento XFEM más obvias son las funciones de potencia introducidas en las esquinas de las esquinas afiladas para representar las singularidades en el gradiente de la solución (es decir, la singularidad en la tensión para problemas de mecánica sólida). El XFEM se puede utilizar para otras funciones de enriquecimiento y otros dominios de solución (especialmente transferencia de calor), pero el nombre es sinónimo de análisis de fracturas.

La distinción entre varios métodos, ¿es XFEM o no ?, etc., es complicada, sutil y sin importancia.

En cuanto a qué usar, XFEM ve muy poco uso práctico. Hay un puñado de aplicaciones en códigos de elementos finitos reales, especialmente Abaqus, pero no han visto una aceptación generalizada.

Para casi todos los problemas prácticos, se utilizaría el FEM clásico. Para la mayoría de los problemas de análisis de fracturas, la FEM clásica aún puede usarse con refinamiento de malla adecuado y / o refinamiento p en el área de la punta de la grieta. También se pueden usar otros modelos de fracturas menos rigurosos.

— Miguel
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r^{α}

$r^{\alpha}$

r

$r$

0 < α < 1

$0<\alpha<1$

- 1 < α < 0

$-1<\alpha<0$

@WolfgangBangerth, ¡Gracias! Edité mi respuesta para decir 'funciones de poder', que es lo que quise decir en primer lugar, aunque sigue siendo impreciso. Casi puse sqrt (r) (para una grieta cerrada) para pintar una imagen más clara, pero no estaba seguro de si sería una distracción. Hay muchos más detalles, lo sé, sobre la implementación seria de XFEM (algunos he estudiado y otros no).

— Mike

@ Mike: otra pregunta menos relacionada es ¿cuál es la diferencia entre P1-bubble FEM y XFEM? ¿Usted me puede mostrar?

— Anh-Thi DINH

@PoBo, hay poca similitud. Ambos métodos implican agregar funciones de forma sin cambiar la malla y ambos se basan en las mismas matemáticas básicas comunes a toda la familia FEM, pero ahí es donde termina la semejanza.

— Mike

Si no tiene una buena comprensión de la versión p o el enfoque de la función de forma de burbuja P1, puede intentar otra pregunta de alto nivel o elegir uno de los libros (Szabo y Babuska es bastante riguroso en general, pero mucho menos que otros que cubren la versión p.)

— Mike

Tanto Mike de respuesta y Jed de uno describen así la dicotomía XFEM / FEM y señalan acertadamente que el área de aplicación más importante es la Mecánica de Fractura en 3D, donde se tiene una grieta, es decir, un desplazamiento discontinuidad través de una superficie interior de su dominio.

Las grietas son difíciles de modelar en FEM clásico por dos razones:

La malla tiene que ser congruente a través de la grieta: más precisamente, la grieta tiene que estar en el límite de un subdominio de FE. La grieta no puede quedar dentro (aunque pase) un elemento finito.
El campo de tensión singular en la punta de la grieta requiere elementos especiales y / o técnicas de malla (elementos de cuarto de punto, malla enfocada) para modelar con buena precisión.

Desde el punto de vista de la ingeniería en mecánica de fracturas, tiene dos tipos principales de problemas:

Cálculo del factor de intensidad de estrés ,
análisis de propagación de grietas, p. ej. en fatiga o análisis de tolerancia al daño.

Para el primer tipo de problema, el FEM clásico es más que adecuado y es la herramienta de ingeniería estándar. (Esto se debe a que, afortunadamente, existen métodos de energía para evaluar los factores de intensidad del estrés que no son sensibles a los errores numéricos cerca de la punta de la grieta).

El análisis de propagación de grietas es una historia completamente diferente: en la mayoría de los casos, usted no conoce de antemano el camino de la grieta y, por lo tanto, es necesario un reencuentro frecuente. La principal promesa de XFEM es permitir la propagación de grietas dentro de una malla FEM fija , la grieta se abre paso no solo en el límite entre los subdominios, sino dentro de los propios FE.

XFEM es una técnica relativamente nueva, lejos de ser una herramienta de ingeniería estándar. Mi respuesta a la pregunta OP, al menos en mecánica sólida y análisis de ingeniería, es que XFEM tiene un campo de aplicación muy limitado y especializado en análisis de propagación de grietas y daños, para geometrías 3D complejas, cuando la ruta de grietas no puede estimarse a priori .

Sin embargo, permítanme enfatizar que la mecánica de fractura es un campo muy importante en ingeniería: por ejemplo, los aviones de hoy en día también son seguros porque es posible predecir numéricamente el daño y la propagación de grietas entre los intervalos de mantenimiento. XFEM, o nuevas técnicas similares, se convertirán en herramientas importantes en el futuro cercano.

— Stefano M
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Todos ustedes demuestran la importancia de XFEM en la mecánica de fracturas, pero ¿hay otros campos que necesiten usar XFEM en lugar de FEM clásico? Por ejemplo, en el crecimiento de biopelículas, la interfaz de la biopelícula en el sustrato cambia con el tiempo. El límite se puede cambiar (límite móvil). Si usamos el FEM clásico, la malla debe generarse en cada paso de tiempo, ¿es así? Eso no es realmente bueno, especialmente en el caso de 3D. ¿O si consideramos 2 fases de fluido con diferentes gradientes de concentración, parece que también necesita usar XFEM?

— Anh-Thi DINH

Hay muchos problemas en los que tiene superficies libres o límites móviles, que son difíciles con los enfoques lagrangianos puros (debido al reengrase frecuente). XFEM es más sobre modelar discontinuidades dentro de dominios. Sé de procedimientos de acoplamiento que hacen uso de la discontinuidad para representar un límite móvil ... pero no soy un experto en estos campos.

— Stefano M

Otra pregunta menos relacionada es: ¿cuál es la diferencia entre P1-bubble FEM y XFEM? ¿Usted me puede mostrar?

— Anh-Thi DINH

Sugeriría abrir una nueva pregunta. Brevemente, P1-bubble / P1 es un elemento finito particular (para la solución de la ecuación de Stokes), mientras que XFEM es un concepto más general, relativo al uso de funciones de enriquecimiento para el modelado de discontinuidades, explotando un enfoque de Partición de la Unidad.

— Stefano M

FEM es un subconjunto de XFEM. XFEM es una metodología para enriquecer espacios de elementos finitos para manejar problemas con discontinuidades (como fracturas). Con el FEM clásico, lograr una precisión similar generalmente requiere una malla conformada complicada y un refinamiento adaptativo, donde XFEM lo hace con una sola malla, moviendo esa complejidad geométrica a los elementos (XFEM es muy complicado de implementar, especialmente en 3D). Mientras tanto, XFEM da como resultado matrices extremadamente mal condicionadas que requieren solucionadores directos o métodos de cuadrículas muy especializados (por ejemplo, Gerstenberger y Tuminaro (2012) ).

— Jed Brown
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¿El esfuerzo para mover la complejidad de la malla a las funciones de forma realmente vale la pena al final? Ambos parecen ser complicados de la misma manera.

— shuhalo

Como suele suceder en la ciencia computacional, depende de a quién le pregunte y qué problema esté resolviendo. Muchos practicantes de XFEM despejan usando una cuadratura cruda en lugar de una adaptada a las discontinuidades intraelementos.

— Jed Brown