Explicación básica de la función de forma.

Acabo de comenzar a estudiar FEM de una manera más estructurada en comparación con lo que solía hacer durante mis cursos de pregrado. Estoy haciendo esto porque, a pesar del hecho de que puedo usar el "FEM" en software comercial (y otro no comercial), me gustaría entender realmente las técnicas subterráneas que respaldan el método. Es por eso que vengo aquí con una pregunta básica, al menos para el usuario experimentado de la técnica.

Ahora estoy leyendo un libro bastante popular (creo) y "amigable con los ingenieros" llamado "Método de elementos finitos: los fundamentos" de Zienkwicz. He estado leyendo este libro desde la primera página, pero todavía no puedo entender el concepto de función de forma tal como lo explica Zienkwicz.

Lo que sé de las cosas que leí es que una matriz de "rigidez", la que relaciona las incógnitas con el resultado ( en: ), tiene sus componentes de las "relaciones entre los nodos", y si esa "relación" cambia (es decir, si la cambiamos a un interpolante de orden superior), esa matriz de rigidez cambia, porque la relación entre los nodos sí lo hace.A k = $A$$Ak=b$

Pero en este libro, la definición es bastante confusa para mí, porque en algún punto dice que puedes elegir arbitrariamente la función como, por ejemplo, la matriz de identidad:

La única explicación que encontré está en este blog , pero todavía no está tan claro para mí. Entonces, ¿alguien puede darme una explicación simple y simple de qué es un functón de forma y cómo se hace para "colocarlo" en la matriz de rigidez?

Siempre he encontrado el enfoque para describir los métodos de elementos finitos que se enfoca en el sistema lineal discreto y funciona al revés innecesariamente confuso. Es mucho más claro ir hacia otro lado, incluso si eso implica un poco de notación matemática al principio (que trataré de mantener al mínimo).

Suponga que está tratando de resolver una ecuación para dada f y desconocido u , donde A es un operador lineal que mapea funciones (por ejemplo, que describen el desplazamiento en cada punto ( x , y ) en un dominio) en un espacio V a funciones en otro espacio (por ejemplo, describiendo las fuerzas aplicadas). Como el espacio de funciones V suele ser de dimensión infinita, este sistema no puede resolverse numéricamente. Por lo tanto, el enfoque estándar es reemplazar V por un subespacio de dimensión finita V h y buscar$A u = f$$f$$u$$A$$(x,y)$$V$$V$$V$$V_h$ satisfactorio A u h = f . Esto todavía es de dimensión infinita debido al espacio de rango (que supondremos que la simplicidad también es V ), por lo que solo pedimos que el residual A u h - f ∈ V sea ​​ortogonal a V h , o equivalente , que v T h ( A u h - f ) = 0 para cada vector base v h en V $u_h \in V_h$$Au_h = f$$V$$Au_h-f\in V$$V_h$$v_h^T(Au_h-f) = 0$$v_h$$V_h$. Si ahora escribimos el como una combinación lineal de estos vectores básicos, nos queda un sistema lineal para los coeficientes desconocidos en esta combinación. (Los términos v T i A u j son exactamente las entradas de la matriz de rigidez K i j , y v T j f son las entradas del vector de carga. Si A es un operador diferencial, generalmente se realiza la integración por partes en algún punto , pero esto no es importante aquí.)$u_h$$v_i^TAu_j$$K_{ij}$$v_j^Tf$$A$

$V_h$$V_h$$V_h$$x$$y$$V_h$$\{\psi_j\}$$(0,0)$$(0,1)$$(1,0)$$\psi_j$$1$$0$

$V_h$

En el enfoque de ingeniería para FEM en Mecánica Estructural, cómo se presenta, pierde la sensación de que está resolviendo ecuaciones diferenciales parciales .

Te muestran estas matrices, le dan un significado físico y, en mi opinión, esto te lleva a desarrollar una dudosa intuición física para el campo.

Puede ser útil pensar en el tema que denomina geometría. La solución a un problema de valor límite para PDE es alguna forma. VI Arnol había dicho una vez alabando los logros de Newton en el campo, parafraseando: hizo algo maravilloso al crear el campo de ecuaciones diferenciales al permitirnos reformular los problemas de las ciencias naturales a problemas geométricos de curvas en el plano y las superficies en el espacio.

En FEM usted aproxima la solución (en FD y FVM aproxima la ecuación de gobierno).

Entra Boris Gligorievich Galerkin. ¿Qué dijo BG Galerkin?

Él dijo: " Quiero que no puedas hacer residuos con las mismas funciones básicas que solías crear la solución". "

(PD: Esta historia no es completamente cierta, e insto a mis lectores a encontrar una mejor explicación del método (Bubnov-) Galerkin, si existe).

Las funciones básicas o las funciones de prueba son las que utiliza para crear la solución. Los usas para aproximar la forma de la solución.

$Ku=f$

$Ku=f$

Lo más importante que debe saber acerca de las "funciones de forma" es que describen cómo las variables dependientes que desea calcular (por ejemplo, el desplazamiento) varían en función de las coordenadas espaciales del elemento (por ejemplo, x e y) en términos de Algunos parámetros escalares desconocidos.

A menudo, las funciones de forma son polinomios simples y los parámetros escalares son los valores de las variables dependientes en los nodos del elemento.

Formar las ecuaciones de elementos finitos usando estas funciones de forma requiere algunos otros conceptos fundamentales, como establecer una "forma débil" de la ecuación diferencial parcial que está tratando de resolver.

Hay un montón de "misticismo" innecesario asociado con el método de elementos finitos, así que animo su enfoque de tratar de obtener una comprensión profunda de los fundamentos.

Mi opinión está en la clase 4 en http://www.math.tamu.edu/~bangerth/videos.html . En particular, le da una idea de por qué elegimos las funciones de sombrero que usualmente usamos cuando usamos el método de elementos finitos, es decir, porque conducen al concepto importante de escasez, a pesar de que muchas otras opciones de funciones básicas habrían sido igualmente válido.

Cada elemento tiene asociado un modelo de desplazamiento que expresa la variación de la variable de campo (variable dependiente) en términos de coeficientes generalizados y variables independientes (x, y, z), por ejemplo: 1D u (x) = a0 + a1x para 2 nodos lineales elemento u (x) = a0 + a1x + a3x ^ 2 para elemento cuadrático de 3 nodos y así sucesivamente. Aquí ai s son los coeficientes generalizados Luego eliminamos ai s y expresamos la variación de la variable de campo en términos de funciones de forma y valores nodales de la variable de campo. por ejemplo: u (x) = N1 u1 + N2 u2 La función que relaciona la variación de la variable de campo con el valor nodal de la variable de campo se denomina "FUNCIÓN DE FORMA". El número de funciones de forma dependerá del número de nodos y el número de variables por nodo. Por lo tanto, las funciones de forma se pueden ver como funciones, que denotan la contribución de cada valor nodal en los puntos internos del elemento. Para un elemento de dos nodos En el nodo 1, la contribución de N1 es la unidad y la de N2 es cero.

En el nodo 2, la contribución de N2 es la unidad y la de N1 es cero.

En el punto medio del elemento, ambos nodos tienen el mismo peso o influencia. Por lo tanto, las funciones de forma indican no solo cómo la variable de campo varía sobre el elemento, sino también cuánta influencia tiene cada valor nodal de la variable de campo en los puntos internos del elemento. Feliz aprendizaje:)

También expliqué las funciones de forma con más detalles aquí: http://stochasticandlagrangian.blogspot.lt/2012/02/rayleigh-ritz-method-explained-for.html

Explica paso a paso de forma visual cómo funciona el método Rayleigh-Ritz. Escribir este artículo finalmente me ayudó a comprender las funciones de forma.

según mi entendimiento ... las funciones de forma no son más que la relación entre las variables de campo y los puntos nodales.

Supongamos que nuestra tierra está siendo presurizada con cargas externas y nuestra tierra se va a romper. por método analítico, usamos muchas fórmulas y descubrimos que en alguna parte (como se supone Asia Continente) la tierra se va a romper. Usando el método FEM, dividimos la tierra en diferentes países, estados y ciudades, mezclamos cada ciudad y finalmente unimos todas las ciudades para formar un globo llamado tierra. Las funciones de forma son la clave que proporciona un puente entre las ciudades malladas para formar un estado y un país y, finalmente, un globo terráqueo. Es el enlace que conecta la malla. Una vez hecho esto, se aplica la carga y se puede encontrar el lugar exacto donde comienza la grieta y eso se puede fortalecer.

Espero que esto te haya ayudado.

Según lo que entiendo sobre las funciones de forma es que se trata de conectar las coordenadas nodales geométricas con el desplazamiento del elemento con una misma función de forma.

Considere un caso 1D. Una barra con 2 nodos en su extremo.

Cuando conecto este elemento con sus coordenadas nodales, puedo encontrar el desplazamiento en cualquier punto de este elemento con la ayuda de la función de interpolación.

Entonces, básicamente las funciones de forma son las aproximaciones que hacemos para encontrar deformación en cualquier punto del espacio de una manera encomiable.

Las funciones de forma son las funciones que relacionan el desplazamiento en cualquier punto del elemento con el desplazamiento de los nodos del elemento. Un gráfico de la función de forma vs puntos en el elemento muestra la "forma" deformada del elemento y, por lo tanto, la función de forma del nombre.