Implementación del método Jacobi-Davidson para el problema del valor propio cúbico

Tengo un gran problema de valor propio cúbico:

({UNA}_{0 0} + λ {UNA}_{1} + λ^{2} {UNA}_{2} + λ^{3} {UNA}_{3}) X = 0.

$\left(\mathbf{A}_0 + \lambda\mathbf{A}_1 + \lambda^2\mathbf{A}_2 + \lambda^3\mathbf{A}_3\right)\mathbf{x} = 0.$

Podría resolver esto convirtiendo a un problema de valor propio lineal, pero daría como resultado un sistema tan grande: $3^2$

[\begin{matrix} - {UNA}_{0 0} & 0 0 & 0 0 \\ 0 0 & yo & 0 0 \\ 0 0 & 0 0 & yo \end{matrix}] [\begin{matrix} X \\ y \\ z \end{matrix}] = λ [\begin{matrix} {UNA}_{1} & {UNA}_{2} & {UNA}_{3} \\ yo & 0 0 & 0 0 \\ 0 0 & yo & 0 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} X \\ y \\ z \end{matrix}],

$\begin{bmatrix} -\mathbf{A}_0 & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{I} & 0 \\ 0 & 0 & \mathbf{I} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{y} \\ \mathbf{z} \end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix} \mathbf{A}_1 & \mathbf{A}_2 & \mathbf{A}_3 \\ \mathbf{I} & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{I} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{y} \\ \mathbf{z} \end{bmatrix},$

donde y . ¿Qué otras técnicas están disponibles para resolver un problema de valor propio cúbico? He oído que hay una versión de Jacobi-Davidson que lo resolverá, pero no he encontrado una implementación. $\mathbf{y} = \lambda\mathbf{x}$ $\mathbf{z} = \lambda\mathbf{y}$

Además, necesito poder apuntar a valores propios específicos de manera similar al método shift-and-invert de ARPACK y encontrar los vectores propios asociados.

c++ eigensystem eigenvalues

— OSE
fuente

¿Cuáles son las dimensiones de las matrices involucradas?

— Bill Barth

A_{i}

$\mathbf{A}_i$ es orden . Tengo dos formulaciones diferentes de este problema, una en la que es densa y en la otra es escasa.

10000 \times 10000

$10000\times 10000$

A_{i}

$\mathbf{A}_i$

— OSE

SLEPc tiene rutinas para problemas de valores propios cuadráticos y problemas de valores propios no lineales, por lo que puede encontrar lo que necesita allí. También cuenta con instalaciones de cambio e inversión, y tiene una interfaz para ARPACK.

— Geoff Oxberry

Con el protocolo de comunicación inversa de ARPACK, no necesita almacenar la matriz explícitamente: solo necesita proporcionar dos funciones que calculen: $3n \times 3n$

$\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right] \rightarrow \left[ \begin{array}{c} -A_0 x \\ y \\ z \end{array}\right]$ y $\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right] \rightarrow \left[ \begin{array}{c} A_1 x + A_2 y + A_3 z \\ y \\ z \end{array}\right]$

(todavía paga el precio de almacenar los vectores dimensionales pero no paga nada por las matrices). $3\times n$

Con respecto a la transformación invertida, puede hacer lo mismo, es decir, implementarla usted mismo utilizando una devolución de llamada que calcule lugar de y reemplace los calculados con . Para calcular , puede prefabricar su matriz , lo que significa solo prefabricar (usando LU, Cholesky o versiones dispersas de ellos dependiendo de la estructura de la matriz). Para la transformación completa shift-invert, creo que se puede hacer algo similar. $x \mapsto M^{-1} x$ $x \mapsto M x$ $\lambda's$ $\lambda^{-1}$ $M^{-1}x$ $M$ $A_0$

— BrunoLevy
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