integración numérica en muchas variables

Sea y sea una función en estas variables. $\vec{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n) \in [0,1]^n$ $f(\vec{x}): [0,1]^n \to \mathbb{C}$

¿Existe un esquema recursivo para esta integral iterada?

\int_{[0, 1]^{n}} \prod d x_{i} f (\vec{x})

$\int_{[0,1]^n} \prod dx_i \;f(\vec{x})$

Si y divido en 100 segmentos, tenemos puntos para sumar. Debe haber una forma más inteligente. $n = 10$ $[0,1]$ $10^{20}$

De hecho, la función que deseo integrar es la medida de Haar del grupo unitario.

\int_{U (n)} f (A) d A = \frac{1}{n!} \int_{[0, 2 π]^{n}} \prod_{j < k} | e^{i θ_{j}} - e^{i θ_{k}} |^{2} \cdot f (θ_{1}, \dots, θ_{n}) \frac{d θ_{1}}{2 π} \dots \frac{d θ_{n}}{2 π}

$\int_{U(n)} f(A) \ dA = \frac{1}{n!} \int_{[0,2\pi]^n} \prod_{j<k} \big|e^{i \theta_j} - e^{i \theta_k}\big|^2 \cdot f(\theta_1, \ldots, \theta_n) \ \frac{d \theta_1}{2\pi} \ \cdots \ \frac{d \theta_n}{2\pi}$

numerical-analysis fourier-analysis

— john mangual
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Si su dimensión no es demasiado grande, también puede considerar métodos de cuadratura dispersos para su integral.

— Paul

@Paul, ¿puedes explicar este tema más en una respuesta? Probablemente votaré a favor

— john mangual

Respuestas:

$O (\sqrt{N})$ $O(\sqrt{N})$ $O(N^{\frac{1}{4}})$ $O (\sqrt{N})$

Sin embargo, dado que es probabilístico, debe integrarlo varias veces utilizando un número establecido de puntos para encontrar una desviación estándar y una estimación de su error.

— Vidente de Godric
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Para la integración, el uso de cuasi-Monte-Carlo, por ejemplo, usando secuencias de Sobel, es ligeramente mejor.

— Lutz Lehmann

Ah, sí, establecí puntos equidistribuidos (sobre pseudoaleatorios) pero no diferenciaba explícitamente entre los dos.

— Godric Seer

\frac{1}{n} \sum f (x_{i}) \approx \int_{[0, 1]^{n}} f d x

$\frac{1}{n} \sum f(x_i) \approx \int_{[0,1]^n} f \ dx$

Sí, la secuencia de Sobol generaría una buena distribución de puntos. cuasi-Monte-Carlo es probablemente uno de los mejores métodos para su problema.

— Godric Seer

La cuadratura de cuadrícula dispersa es un enfoque alternativo para integrarse en dimensiones superiores.

La cuadratura se basa en evaluar una suma ponderada de valores de función en puntos "óptimos" específicos. La cuadratura tradicional utiliza una construcción de cuadrícula de producto tensor en dimensiones más altas, lo que significa que tendría que evaluar la función en un número de puntos exponencialmente creciente a medida que aumenta la dimensión.

El truco para dispersar la cuadratura de la cuadrícula es que puede obtener la misma precisión de orden (en el sentido asintótico) usando un pequeño subconjunto de la cuadrícula del producto tensorial. Los puntos escasos que elija terminan siendo aquellos que integran con precisión monomios de hasta un grado total deseado . Los ahorros computacionales (en comparación con la red del producto tensorial) aumentan significativamente a medida que aumenta la dimensión.

Sin embargo, hay inconvenientes en este método que debe tener en cuenta.

Este método no funciona bien si su función no es uniforme (o si no está bien aproximada por las funciones polinómicas).
Si bien el orden de precisión de la cuadratura de cuadrícula dispersa puede ser equivalente a una cuadrícula de producto tensorial, la precisión relativa puede ser mucho peor. Esto se debe a que la constante frente al orden de precisión de la cuadrícula dispersa puede ser muy grande.
Las cuadrículas dispersas funcionan bien para dimensiones relativamente pequeñas. Pero viene una dimensión después de la cual probablemente sería mejor usar otro método (como Monte Carlo o sus variantes).

Para obtener más información sobre cuadrículas dispersas, recomiendo las cuadrículas dispersas de Burkardt en altas dimensiones . Si está interesado en el código para generar cuadrículas dispersas, es posible que desee considerar estos archivos matlab .

— Paul
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