¿Métodos numéricos para invertir transformadas integrales?

Estoy tratando de invertir numéricamente la siguiente transformación integral:

F (y) = \int_{0}^{\infty} y \exp [- \frac{1}{2} (y^{2} + x^{2})] I_{0} (x y) f (x) d x

$F(y) = \int_{0}^{\infty} y\exp{\left[-\frac{1}{2}(y^2 + x^2)\right]} I_0\left(xy\right)f(x)\;\mathrm{d}x$

Entonces, para una dada , necesito aproximar donde: $F(y)$ $f(x)$

y son reales y positivas $f(x)$ $F(y)$ (son distribuciones de probabilidad continuas)
son reales y positivos $x,y$ (son magnitudes)

Tengo un método de fuerza bruta muy desordenado para hacer esto en este momento:

Defino y la spline sobre una serie de puntos, los valores de los puntos spiled se 'adivinan' por muestreo aleatorio, lo que produce un predicho . Un algoritmo genético básico que escribí minimiza la diferencia entre la matriz predicha y medida . Luego tomo la que converge el algoritmo como mi respuesta para la inversión. $f(x)$ $F(y)$ $F(y)$ $f(x)$

Este enfoque funciona bastante bien para algunos casos simples, pero me parece desordenado y no particularmente robusto.

¿Alguien puede darme orientación sobre mejores formas de resolver este problema?

¡Gracias por su tiempo y ayuda!

[publicado en x en computercience]

— CBowman
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Un método bastante simple sería elegir una base en el espacio de funciones y convertir la transformación integral en una matriz. Entonces puedes simplemente invertir la matriz.

Matemáticamente, así es como funciona: necesita un conjunto de funciones de base ortonormal . (Usted puede salirse sin que éstos se normalizaron también, pero es más fácil de explicar de esta manera.) Medios Ortonormales que el producto interno , donde $T_i(x)$ $\langle T_i,T_j\rangle = \delta_{ij}$

\begin{matrix} (1) & ⟨ T_{i}, T_{j} ⟩ \equiv \int_{a}^{b} W (x) T_{i} (x) T_{j} (x) d x = δ_{i j} \end{matrix}

$\langle T_i,T_j\rangle \equiv \int_a^b W(x) T_i(x)T_j(x)\,\mathrm{d}x = \delta_{ij}\tag{1}$

Aquí es alguna función de peso. Eso y los límites y están ligados a su elección de . Una vez que elija qué conjunto de funciones básicas usar, puede codificar los límites y la función de peso en su programa. $W(x)$ $a$ $b$ $T_i$

Usando la ortonormalidad, puede expresar cualquier función, como y , como combinaciones lineales de estas funciones básicas: $f(x)$ $F(y)$

\begin{aligned} (2) & f (x) & = \sum_{i} c_{i} T_{i} (x) & F (y) & = \sum_{j} C_{j} T_{j} (y) \end{aligned}

$\begin{align} f(x) &= \sum_{i} c_i T_i(x) & F(y) &= \sum_{j} C_j T_j(y) \tag{2} \end{align}$

donde los coeficientes se calculan como

\begin{aligned} (3) & c_{i} & = ⟨ f, T_{i} ⟩ = \int_{a}^{b} W (x) f (x) T_{i} (x) d x \\ (4) & C_{j} & = ⟨ F, T_{j} ⟩ = \int_{a}^{b} W (y) F (y) T_{j} (y) d y \end{aligned}

$\begin{align} c_i &= \langle f,T_i\rangle = \int_a^b W(x) f(x)T_i(x)\,\mathrm{d}x \tag{3}\\ C_j &= \langle F,T_j\rangle = \int_a^b W(y) F(y)T_j(y)\,\mathrm{d}y \tag{4} \end{align}$

Puede verificar que estas expresiones sean consistentes con las definiciones de los coeficientes, ec. (2), y la ortonormalidad, ec. (1)

Ahora, calcule la transformación de cada una de las funciones básicas; Digamos que es . $\tilde{T}_i(y)$

{\tilde{T}}_{i} (y) \equiv \int_{0}^{\infty} y \exp [- \frac{1}{2} (y^{2} + x^{2})] I_{0} (x y) T_{i} (x) d x

$\tilde{T}_i(y) \equiv \int_0^\infty y \exp\biggl[-\frac{1}{2}(y^2 + x^2)\biggr]I_0(xy)T_i(x)\,\mathrm{d}x$

es una función, y por lo que se puede expresar como una combinación lineal de las funciones de base tal como lo hicimos cony: $\tilde{T}_i(y)$ $f(x)$ $F(y)$

{\tilde{T}}_{i} (y) = \sum_{k} A_{i k} T_{k} (y)

$\tilde{T}_i(y) = \sum_k A_{ik}T_k(y)$

donde los elementos de la matriz se determinan de la misma manera que encontramos y arriba: $A_{ik}$ $c_i$ $C_j$

\begin{matrix} (5) & A_{i k} = ⟨ {\tilde{T}}_{i}, T_{k} ⟩ = \int_{a}^{b} W (y) {\tilde{T}}_{i} (y) T_{k} (y) d y \end{matrix}

$A_{ik} = \langle \tilde{T}_i, T_k\rangle = \int_a^b W(y) \tilde{T}_i(y)T_k(y)\,\mathrm{d}y\tag{5}$

$i$ $k$ $T_i(x)$ $W(x)$

$A_{ik}$ $c_i$ $C_j$ $f(x)$ $F(y)$

\begin{aligned} \overset{F (y)}{\overset{⏞}{\sum_{j} C_{j} T_{j} (y)}} & = \int_{0}^{\infty} y \exp [- \frac{1}{2} (y^{2} + x^{2})] I_{0} (x y) \overset{f (x)}{\overset{⏞}{\sum_{i} c_{i} T_{i} (x)}} d x \\ = \sum_{i} c_{i} \int_{0}^{\infty} y \exp [- \frac{1}{2} (y^{2} + x^{2})] I_{0} (x y) T_{i} (x) d x \\ = \sum_{i} c_{i} \sum_{k} A_{i k} T_{k} (y) \end{aligned}

$\begin{align} \overbrace{\sum_{j} C_j T_j(y)}^{F(y)} &= \int_0^\infty y \exp\biggl[-\frac{1}{2}(y^2 + x^2)\biggr]I_0(xy)\overbrace{\sum_{i} c_i T_i(x)}^{f(x)}\,\mathrm{d}x\\ &= \sum_{i} c_i \int_0^\infty y \exp\biggl[-\frac{1}{2}(y^2 + x^2)\biggr]I_0(xy)T_i(x)\,\mathrm{d}x\\ &= \sum_{i} c_i \sum_{k} A_{ik}T_k(y) \end{align}$

$C_{\ell}$ $T_{\ell}$

\begin{aligned} ⟨ (\sum_{j} C_{j} T_{j}), T_{ℓ} ⟩ & = ⟨ (\sum_{i} c_{i} \sum_{k} A_{i k} T_{k}), T_{ℓ} ⟩ \\ \int_{a}^{b} W (y) \sum_{j} C_{j} T_{j} (y) T_{ℓ} (y) d y & = \int_{a}^{b} W (y) \sum_{i} c_{i} \sum_{j} A_{i k} T_{k} (y) T_{ℓ} (y) d y \\ \sum_{j} C_{j} \int_{a}^{b} W (y) T_{j} (y) T_{ℓ} (y) d y & = \sum_{i} c_{i} \sum_{k} A_{i k} \int_{a}^{b} W (y) T_{k} (y) T_{ℓ} (y) d y \\ \sum_{j} C_{j} δ_{j ℓ} & = \sum_{i} c_{i} \sum_{k} A_{i k} δ_{k ℓ} \\ C_{ℓ} & = \sum_{i} c_{i} A_{i ℓ} \end{aligned}

$\begin{align} \left\langle \biggl(\sum_{j} C_j T_j\biggr), T_\ell\right\rangle &= \left\langle \biggl(\sum_{i} c_i \sum_{k} A_{ik}T_k\biggr), T_\ell\right\rangle \\ \int_a^b W(y) \sum_{j} C_j T_j(y)T_\ell(y)\,\mathrm{d}y &= \int_a^b W(y) \sum_{i} c_i \sum_{j} A_{ik}T_k(y)T_\ell(y)\,\mathrm{d}y \\ \sum_{j} C_j \int_a^b W(y) T_j(y)T_\ell(y)\,\mathrm{d}y &= \sum_{i} c_i \sum_{k} A_{ik}\int_a^b W(y) T_k(y)T_\ell(y)\,\mathrm{d}y \\ \sum_{j} C_j \delta_{j\ell} &= \sum_{i} c_i \sum_{k} A_{ik}\delta_{k\ell} \\ C_\ell &= \sum_{i} c_i A_{i\ell} \end{align}$

$\ell$ $C_j$

$C_j$ $c_i$ $A_{ij}$ $c_i$ $A_{ij}$ $C_j$ $F(y)$

$F(y)$ $C_j$

C_{j} = \sum_{i} c_{i} A_{i j}

$C_j = \sum_{i} c_i A_{ij}$

$A$

$i$ $j$ $1$ $N$ $N$ $f(x)$ $T_1(x),\ldots,T_N(x)$ $1$ $M$ $F(y)$ $T_1(y),\ldots,T_M(y)$ $M = N$ $M$ $N$ $N$ $c_i$ $A$ $M\times N$ $A_{11}$ $A_{NM}$

$[-1,1]$ $T_i$ $W(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ $a = -1$ $b = 1$ $\langle T_i, T_j\rangle = \delta_{ij}\pi/2$ $i = j\neq 0$ $\langle T_0, T_0\rangle = \pi$

— David Z
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