¿Cómo funciona la notación de bra-ket?

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Los algoritmos cuánticos utilizan con frecuencia la notación de bra-ket en su descripción. ¿Qué significan todos estos corchetes y líneas verticales? Por ejemplo: $|ψ⟩=α|0⟩+β|1⟩$

Si bien esta es posiblemente una pregunta sobre las matemáticas, este tipo de notación parece usarse con frecuencia cuando se trata específicamente de la computación cuántica. No estoy seguro de haberlo visto alguna vez en otros contextos.

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Por la última parte, quiero decir que es posible denotar vectores y productos internos usando notación estándar para álgebra lineal, y algunos otros campos que usan estos objetos y operadores lo hacen sin el uso de notación de corchetes.

Esto me lleva a concluir que hay alguna diferencia / razón por la cual Bra-ket es especialmente útil para denotar algoritmos cuánticos. No es una afirmación de hecho, lo dije como una observación. "No estoy seguro de haberlo visto usado en otro lugar" no es la misma declaración que "No se usa en ningún otro contexto".

notation

— Ella Rose
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Relacionado: Cómo

T E X

$\TeX$ notación de bra-ket en Meta.

— Nat

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Como ya explicaron otros, un ket es solo un vector. Un sujetadores el conjugado hermitiano del vector. Puedes multiplicar un vector con un número de la forma habitual. $\left|\psi\right>$ $\left<\psi\right|$

Ahora viene la parte divertida: puede escribir el producto escalar de dos vectores y como . $\left|\psi\right>$ $\left|\phi\right>$ $\left<\phi\middle|\psi\right>$

Puede aplicar un operador al vector (en dimensiones finitas esto es solo una multiplicación matricial) . $X\left|\psi\right>$

En general, la notación es muy práctica e intuitiva. Para obtener más información, consulte el artículo de Wikipedia o un libro de texto sobre mecánica cuántica.

— jknappen - Restablecer a Monica
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"Sujetador es un conjugado ermitaño". ¿Qué es un conjugado hermitiano de un vector? ¿Y es solo el producto interno de los vectores y ?

⟨ ϕ | ψ ⟩

$\langle\phi|\psi\rangle$

ϕ^{⊤} ψ

$\phi^\top \psi$

ϕ

$\phi$

ψ

$\psi$

— Develarist

Hay dos tipos de vectores, vectores de columna y vectores de fila. El conjugado hermitiano de un vector columna es un vector fila con elementos complejos conjugados, y viceversa.

— jknappen - Restablece a Monica el

elementos complejos conjugados?

— Develarist

Elementos como en elementos de matriz. También puede usar el término "componentes" que es más habitual cuando se habla de vectores.

— jknappen - Restablece a Monica el

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Sí, es el producto interno , pero el espacio vectorial es complejo, por lo que la fórmula es , tenga en cuenta la daga para el conjugado hermitiano, no es solo la transposición.

⟨ ϕ | ψ ⟩

$\langle\phi|\psi\rangle$

ϕ^{†} ψ

$\phi^\dagger\psi$

— jknappen - Restablece a Monica el

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Podría pensar en y como dos estados básicos ortonormales (representados por "ket" s) de un bit cuántico que reside en un espacio vectorial complejo bidimensional. Las líneas y corchetes que ves son básicamente la notación de bra-ket, también conocida como la notación de Dirac, que se usa comúnmente en la mecánica cuántica. $|0\rangle$ $|1\rangle$

Como ejemplo, podría representar el estado de giro de un electrón mientras que podría representar el estado de giro. Pero en realidad el electrón puede estar en una superposición lineal de esos dos estados, es decir, (esto normalmente se normaliza como ) donde . $|0\rangle$ $|1\rangle$ $|\psi\rangle_{\text{electron}} = a|0\rangle + b|1\rangle$ $\frac{a|0\rangle + b|1\rangle}{\sqrt{|a|^2+|b|^2}}$ $a,b\in \Bbb{C}$

— Sanchayan Dutta
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¿Qué significan todos estos corchetes y líneas verticales?

La notación significa exactamente lo mismo que o , es decir, denota un vector cuyo nombre es "v". Eso es. No hay más misterio o magia, en absoluto. El símbolo denota un vector llamado "psi". $\left \lvert v \right \rangle$ $\vec{v}$ $\textbf{v}$ $\left \lvert \psi \right \rangle$

El símbolo se llama "ket", pero podría también (y en mi opinión debería) llamarse un "vector" sin ninguna pérdida de significado. $\left \lvert \cdot \right \rangle$

Si bien esta podría ser una pregunta acerca de las matemáticas, este tipo de notación parece usarse con frecuencia cuando se trata específicamente del cálculo cuántico. No estoy seguro de haberlo visto alguna vez en otros contextos.

La notación fue inventada por un físico ( Paul Dirac ) y se llama "notación de Dirac" o "notación de corchetes" . Por lo que yo sé, probablemente Dirac inventó mientras se estudia la mecánica cuántica, y así históricamente la notación ha mayormente ha utilizado para denotar los vectores que aparecen en la mecánica cuántica, es decir, los estados cuánticos. La notación de Bra-ket es el estándar en cualquier contexto de mecánica cuántica, no solo el cálculo cuántico. Por ejemplo, la ecuación de Schrodinger , que tiene que ver con la dinámica en sistemas cuánticos y es anterior a la computación cuántica por décadas, se escribe usando la notación de corchetes.

Además, la notación es bastante conveniente en otros contextos de álgebra lineal y se usa fuera de la mecánica cuántica.

— DanielSank
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Esto me lleva a concluir que hay alguna diferencia / razón por la cual Bra-ket es especialmente útil para denotar algoritmos cuánticos.

Ya hay una respuesta aceptada y una respuesta que explica 'ket', 'sujetador' y la notación escalar del producto.

Intentaré agregar un poco más a la entrada resaltada. ¿Qué lo hace una notación útil / útil?

Lo primero para lo que realmente se usa mucho la notación de corchetes es para denotar de manera muy simple los vectores propios de un operador (generalmente hermitiano) asociado con un valor propio. Supongamos que tenemos una ecuación de valor propio , esto se puede denotar como , y probablemente alguna etiqueta adicional si hay cierta degeneración . $A(v)=\lambda v$ $A\left|\lambda\right\rangle=\lambda \left|\lambda\right\rangle$ $k$ $A\left|\lambda,k\right\rangle=\lambda \left|\lambda,k\right\rangle$

Usted ve esto empleado en toda la mecánica cuántica, los estados propios del momento tienden a etiquetarse como o dependiendo de las unidades, o con estados de partículas múltiples ; representación del número de ocupación para el sistema bose y fermi muchos sistemas del cuerpo ; una media partícula de giro que toma los estados propios del operador , escrito a veces como and o y , etc. como abreviatura de $\left|\vec{k}\right\rangle$ $\left|\vec{p}\right\rangle$ $\left|\vec{p}_1,\vec{p}_2,\vec{p}_3\ldots\right\rangle$ $\left|n_1,n_2,\ldots\right\rangle$ $S_z$ $\left|+\right\rangle$ $\left|-\right\rangle$ $\left|\uparrow\,\right\rangle$ $\left|\downarrow\,\right\rangle$ $\left|\pm \hbar/2\right\rangle$ ; Los armónicos esféricos como funciones propias de las funciones y se escriben convenientemente como con y $L^2$ $L_z$ $\left|l,m\right\rangle$ $l=0,1,2,\ldots$ $m=-l,-l+1,\ldots,l-1,l.$

Entonces, la conveniencia de la notación es una cosa, pero también hay una especie de sensación de 'lego' ante las manipulaciones algebraicas con notación dirac, tomemos por ejemplo el operador spin half en notación dirac como , actuando en un estado como one simplemente hace $S_x$ $S_x=\frac{\hbar}{2}(\left|\uparrow\right\rangle\left\langle\downarrow\right|+\left|\downarrow\right\rangle\left\langle\uparrow\right|)$ $\left|\uparrow\right\rangle$

S_{x} | ↑ ⟩ = \frac{ℏ}{2} (| ↑ ⟩ ⟨ ↓ | + | ↓ ⟩ ⟨ ↑ |) | ↑ ⟩ = \frac{ℏ}{2} | ↑ ⟩ ⟨ ↓∣↑ ⟩ + \frac{ℏ}{2} | ↓ ⟩ ⟨ ↑∣↑ ⟩ = \frac{ℏ}{2} | ↓ ⟩

$S_x\left|\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left(\left|\uparrow\rangle\langle\downarrow\right|+\left|\downarrow\rangle\langle\uparrow\right|\right)\left|\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left|\uparrow\rangle\langle\downarrow\mid\uparrow\right\rangle+\frac{\hbar}{2}\left|\downarrow\rangle\langle\uparrow\mid\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left|\downarrow\right\rangle$

desde y . $\left\langle\uparrow\mid\uparrow\right\rangle=1$ $\left\langle\downarrow\mid\uparrow\right\rangle=0$

¿Qué lo hace útil para los algoritmos cuánticos?

Digamos que tenemos un sistema de dos niveles adecuado para un qubit; esto forma un espacio vectorial complejo bidimensional cuya base se denota como y . Cuando consideramos decir qubits de esta forma, los estados del sistema viven en un espacio más grande el espacio del producto tensor, . La notación de Dirac puede ser bastante útil aquí, los estados base se etiquetarán con cadenas de unos y ceros y uno generalmente denota un estado, por ejemplo, , y decimos que tenemos un operador de cambio de bits que intercambia $V$ $\left|0\right\rangle$ $\left|1\right\rangle$ $n$ $V^{\otimes n}$ $\left|1\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle\otimes\left|1\right\rangle\equiv\left|1001\right\rangle$ $X_i$ $1\leftrightarrow 0$ en el bit 'th, esto puede actuar simplemente en las cadenas anteriores, por ejemplo, , y tomar una suma de operadores o actuar en un la superposición de estados funciona igual de simple. $i$ $X_3\left|1001\right\rangle=\left|1011\right\rangle$

Ligera precaución: un estado escrito como no siempre significa , por ejemplo cuando tiene dos fermiones idénticos con las funciones de onda dicen y , con etiquetas que indexan algún conjunto de bases, entonces uno podría escribir el estado determinante de la separación de los fermiones en forma abreviada como o incluso . $\left|a,b\right\rangle$ $\left|a\right\rangle\otimes\left|b\right\rangle$ $\phi_{k_1}(\vec{r}_1)$ $\phi_{k_2}(\vec{r}_2)$

\frac{1}{\sqrt{2}} (ϕ_{k_{1}} ({\vec{r}}_{1}) ϕ_{k_{2}} ({\vec{r}}_{2}) - ϕ_{k_{1}} ({\vec{r}}_{2}) ϕ_{k_{2}} ({\vec{r}}_{1}))

$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\phi_{k_1}(\vec{r}_1)\phi_{k_2}(\vec{r}_2)-\phi_{k_1}(\vec{r}_2)\phi_{k_2}(\vec{r}_1)\right)$

| ϕ_{k_{1}}, ϕ_{k_{2}} ⟩

$\left|\phi_{k_1},\phi_{k_2}\right\rangle$

| k_{1}, k_{2} ⟩ \neq | k_{1} ⟩ \otimes | k_{2} ⟩

$\left|k_1,k_2\right\rangle\neq \left|k_1\right\rangle\otimes \left|k_2\right\rangle$

— snulty
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La notación ket significa un vector en cualquier espacio vectorial en el que estemos trabajando, como el espacio de todas las combinaciones lineales complejas de las ocho cadenas de 3 bits , , , etc. , como podríamos usar para representar los estados de una computadora cuántica. Sin adornos significa exactamente lo mismo: la notación ket es útil en parte para enfatizar que, por ejemplo, es un elemento del espacio vectorial de interés y en parte por su ternura en combinación con el notación de sujetador . $|\psi\rangle$ $000$ $001$ $010$ $\psi$ $|\psi\rangle$ $|010\rangle$

La notación de sujetadorsignifica el vector dual o el codificador: un mapa funcional lineal o lineal de vectores a escalares, cuyo valor en un vector es el producto interno de con , lindo escrito . Aquí asumimos la existencia de un producto interno, que no se da en espacios vectoriales arbitrarios, pero en física cuántica generalmente trabajamos en espacios de Hilbert que, por definición, tienen un producto interno. El dual de un vector a veces también se llama su transposición (hermitiana) $\langle\psi|$ $|\phi\rangle$ $\psi$ $\phi$ $\langle\psi|\phi\rangle$ , porque en la representación matricial, un vector corresponde a una columna y un codificador corresponde a una fila, y cuando multiplica obtiene un escalar. (La parte hermitiana significa que, además de la transposición de la matriz, tomamos el complejo conjugado de sus entradas, que en realidad solo transpone la representación de la matriz del complejo número .) $\mathrm{row} \times \mathrm{column}$ $\scriptstyle\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}$ $a + b i$

Cuando se escribe de otra manera,, obtienes el producto externo de con , definido como la transformación lineal del espacio vectorial a sí mismo dada por . Es decir, dado un vector , escala el vector por el escalar dado por el producto interno . Como las operaciones en cuestión son asociativas, podemos eliminar los paréntesis y escribir sin ambigüedades $|\psi\rangle\langle\phi|$ $\psi$ $\phi$ $|\theta\rangle \mapsto (\langle\phi|\theta\rangle) |\psi\rangle$ $\theta$ $\psi$ $\langle\phi|\theta\rangle$

(| ψ ⟩ ⟨ ϕ |) | θ ⟩ = | ψ ⟩ ⟨ ϕ | θ ⟩ = ⟨ ϕ | θ ⟩ | ψ ⟩ = (⟨ ϕ | θ ⟩) | ψ ⟩ .

$(|\psi\rangle\langle\phi|)|\theta\rangle = |\psi\rangle\langle\phi|\theta\rangle = \langle\phi|\theta\rangle|\psi\rangle = (\langle\phi|\theta\rangle)|\psi\rangle.$ Sin embargo, las operaciones involucradas no son conmutativas en general: invertir el orden produce el complejo conjugado , reemplazando por . También puede haber otras transformaciones de los espacios involucrados en la mezcla, como , que se pueden leer de manera equivalente como la precomposición de la función linealpor la transformación lineal , aplicada al vector

⟨ ψ | ϕ ⟩ = ⟨ ϕ | ψ ⟩^{*}

$\langle\psi|\phi\rangle = \langle\phi|\psi\rangle^*$

a + b i

$a + b i$

a - b i

$a - b i$

⟨ ψ | A | ϕ ⟩

$\langle\psi|A|\phi\rangle$

⟨ ψ |

$\langle\psi|$

A

$A$

| ϕ ⟩

$|\phi\rangle$ , o como la evaluación del lineal funcionalen el vector obtenido mediante la transformación de por la transformación lineal .

⟨ ψ |

$\langle\psi|$

| ϕ ⟩

$|\phi\rangle$

A

$A$

La notación se usa principalmente en física cuántica; los matemáticos tienden a escribir donde los físicos podrían escribir ; para el covector; o bien o para el producto interno; y para lo que los físicos anotarían por . $\psi$ $|\psi\rangle$ $\psi^*$ $\langle\psi|$ $\langle\psi,\phi\rangle$ $\psi^*\phi$ $\psi^*A\phi$ $\langle\psi|A|\phi\rangle$

— Ossifrage aprensivo
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