Forma rápida de verificar si dos vectores de estado son equivalentes a las operaciones de Pauli

Busco código rápido, o un algoritmo rápido, para comprobar si un vector de estado dado $A$ se puede transformar en otro estado del vector $B$ usando solamente los trabajos de Pauli $X$ , $Y$ , $Z$ .

La estrategia ingenua es simplemente iterar a través de las $4^n$ formas de aplicar una operación Pauli (o ninguna operación) a cada uno de los $n$ qubits, en realidad simular la aplicación de las operaciones ( $2^n$ costo por cada qubit para cada caso) a uno de los estados y compruebe si el vector de estado resultante es equivalente al otro estado. ¿Seguramente es posible hacer esto mejor que en el peor de los casos $n 8^n$ veces?

[Actualización] Estoy específicamente interesado en el peor de los casos . Las heurísticas son respuestas interesantes y útiles, pero no se convertirán en la respuesta aceptada.

pauli-gates

— Craig Gidney
fuente

Respuestas:

La forma en que pensé comenzar era mirar las matrices de densidad reducida de los qubits individuales. Si no se pueden interconvertir usando matrices de Pauli, entonces todo no se puede.

El único problema es que esta idea se rompe tan pronto como cualquiera de las matrices de densidad reducida se mezcla al máximo. En ese momento, podría preguntarse "¿son los dos estados equivalentes bajo las unidades unitarias locales?". Si deriva las unitarias como resultado de esa pregunta, entonces es fácil probar si son Pauli o no. Esto fue estudiado aquí . Creo que todavía hay casos en los que el escalado es problemático, pero no recuerdo el bit con matrices de densidad reducida máximamente mezcladas lo suficientemente bien.

— DaftWullie
fuente

| C C Z ⟩

$|CCZ\rangle$

Estoy de acuerdo. Por supuesto, para los estados de gráficos se han realizado muchos estudios sobre la equivalencia local de Clifford , pero luego debe comenzar a hablar sobre cómo se especifican los estados. El truco de distinguir entre Clifford local y la equivalencia unitaria local sugiere cuán desagradable podría ser el problema en general.

— DaftWullie

$a_i$ $X$ $Y$

$(a_0, b_0)$ $-i$ $Y$ $(a_1,b_1)$ $(a_0,b_0)$ $Y$ $Z$ $(a_{2^{k-1}},b_{2^{k-1}})$ $(a_0,b_0)$ $Y$ $Z$ $k$

$a_i$

$O(n)$

— Eelvex
fuente

a_{i}

$a_i$

Tomas casos. En cualquier caso, a medida que aumenta la degeneración de los elementos, el problema se vuelve más trivial. Las (magnitudes de) los elementos de A y B tienen que estar equilibradas.

— Eelvex

Pero, ¿qué pasa con estados como estados de gráficos donde todos los elementos tienen la misma magnitud? El punto que estoy tratando de hacer es que tomar casos conduciría a la misma explosión exponencial. Es cierto que su sugerencia es muy buena para eliminar o resolver muchos casos simples.

— DaftWullie

X

$X$

Esta es otra buena heurística para ciertos estados. Pero estoy buscando específicamente un algoritmo con buen rendimiento en el peor de los casos.

— Craig Gidney