¿Por qué se muestra un qubit enredado en el origen de una esfera Bloch?

No estoy claro por qué la representación de la esfera Bloch de un qubit enredado al máximo muestra el estado del bit como el origen de la esfera.

Por ejemplo, esta ilustración

muestra el efecto del circuito simple

con el tiempo, con a la izquierda y a la derecha. Ambos qubits terminan en el origen de sus respectivas esferas después de la aplicación de ( "espera" en su valor inicial hasta que mueve a ). $q_0$ $q_1$ $CNOT$ $q_1$ $H$ $q_1$ $x$

¿Por qué se muestra un qubit máximamente enredado en el origen de una esfera Bloch?

Aquí se proporciona una especie de explicación , pero soy demasiado principiante para seguirla.

entanglement bloch-sphere

— orome
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Esta es una buena pregunta con buenas respuestas. El formalismo parcial de la matriz de trazas y densidad es necesario para comprender las respuestas. Sin estas herramientas, solo podemos proporcionar la descripción más superficial de lo que está sucediendo.

— psitae

Respuestas:

La esfera de Bloch solo representa el estado de un solo qubit. De lo que estás hablando es de tomar un estado de múltiples qubits y representar el estado de solo uno de esos qubits en la esfera Bloch.

Si el estado de múltiples qubits es un estado de producto (puro y separable), entonces el estado del qubit único es un estado puro y se representa como un punto en la superficie de la esfera de Bloch. Si el estado general está enredado, entonces el qubit individual no es puro, y está representado por un punto que se encuentra en el interior de la esfera Bloch. Cuanto más corta es la distancia al centro, más mezclado es el qubit individual y, por lo tanto, más enredado está el estado global. El estado máximo entrelazado produce la distancia más corta posible, es decir, el punto justo en el centro de la esfera. La respuesta de AHussain le proporciona las matemáticas de cómo calcularlo formalmente.

— DaftWullie
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Estas respuestas son útiles, pero no del nivel que estoy buscando, que es muy básico (los operadores de densidad todavía me ponen un poco mareado) y un nivel superior, a saber: ¿por qué representar el enredo como una distancia desde el centro de la esfera? ? ¿Hay alguna razón natural o convincente para hacerlo? ¿se desprende de algo más que esté bien establecido o sea fundamental?

— orome

Permítanme reiterar que la Esfera Bloch no representa enredos. Representa el estado de un qubit. Si ese qubit es parte de un estado puro de dos qubit, entonces el grado en que un qubit no está en un estado de producto es el grado en que está enredado. Pero, fundamentalmente, esta es una propiedad de los operadores de densidad para qubits individuales. No puedes esconderte de eso.

— DaftWullie

Aquí está la parte crucial, creo: "entonces la medida en que un qubit no está en un estado de producto es la medida en que está enredado". Eso proporciona lo racional que estaba buscando.

— orome

Sea un punto en la esfera de la unidad con . $(x,y,z)$ $x^2+y^2+z^2 \leq 1$

El estado asociado con este punto es

\begin{array}{rcl} ρ & = & \frac{1}{2} (I_{2} + x σ_{x} + y σ_{y} + z σ_{z}) \\ = & \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 + z & x - i y \\ x + i y & 1 - z \end{matrix}) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \rho &=& \frac{1}{2} (I_2 + x \sigma_x + y \sigma_y + z \sigma_z)\\ &=& \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+z&x-iy\\ x+iy&1-z\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Esta es solo una forma conveniente de parametrizar todas las matrices de densidad . Esto no funciona tan bien para los qudits con . Pero como estamos hablando , también podríamos usar esta agradable parametrización. $2\times 2$ $d \neq 2$ $d=2$

En particular let , el asociado es $(x,y,z)=(0,0,0)$ $\rho$

\begin{array}{rcl} ρ & = & \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 + 0 & 0 - i 0 \\ 0 + i 0 & 1 - 0 \end{matrix}) \\ = & (\begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{matrix}) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \rho &=& \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+0&0-i0\\ 0+i0&1-0\\ \end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix} \frac{1}{2}&0\\ 0&\frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Este es el estado máximo mixto.

Lo que se muestra es el estado de solo 1 qubit. Este es el resultado después de hacer un seguimiento parcial sobre el otro qubit.

Entonces, si miramos el primero . Comienza en el estado $q_0$

\begin{array}{rcl} ρ & = & | 0 ⟩ ⟨ 0 | \end{array}

$\begin{eqnarray*} \rho &=& | 0 \rangle \langle 0 |\\ \end{eqnarray*}$

que corresponde a $(x,y,z)=(0,0,1)$

Luego va a

\begin{array}{rcl} ρ & = & H | 0 ⟩ ⟨ 0 | H \end{array}

$\begin{eqnarray*} \rho &=& H | 0 \rangle \langle 0 | H\\ \end{eqnarray*}$

Pero después del CNOT es

\begin{array}{rcl} ρ & = & {Tr}_{2} ({CNOT}_{12} H | 00 ⟩ ⟨ 00 | H {CNOT}_{12}) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \rho &=& \text{Tr}_2 (\operatorname{CNOT}_{12} H | 0 0 \rangle \langle 00 | H \operatorname{CNOT}_{12}) \\ \end{eqnarray*}$

que termina siendo el estado máximo mixto correspondiente a $(x,y,z)=(0,0,0)$

Editar: como se indicó anteriormente "Esta es solo una forma conveniente de parametrizar todas las matrices de densidad Esto no funciona tan bien para qudits con Pero como estamos hablando de , también podríamos use esta buena parametrización ". Por lo tanto, incluso si las matrices de densidad aún lo marean, no piense que el centro de una esfera es algo particularmente significativo. Es solo una forma conveniente de dibujar todos los estados y, en este caso, el centro se alinea con el estado de máxima mezcla. Entonces no, no es algo fundamental. No se generaliza a otros o más qubits. No tome esta parametrización en particular demasiado en serio, solo nos permite trazar el estado de una manera de transmitir rápidamente la información visualmente. $2\times 2$ $d \neq 2$ $d=2$ $d$

— AHusain
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Vea mi comentario a la respuesta de DaftWullie.

— orome

Editado para decir cómo no es fundamental.

— AHusain el

Dices que esto no funciona tan bien para d ≠ 2, pero la visualización todavía parece usarse comúnmente para dimensiones más grandes .

— orome

Lo que están haciendo es como este circuito, muestran cada qubit después de rastrear a los demás. Al igual que con este circuito que muestra 2 esferas. Lo que estaba diciendo es sobre tratar de visualizar matrices de densidad d por d para todo el sistema. Se vuelven demasiado grandes y complicados para dibujar.

— AHusain el