Matrices unitarias aproximadas

Actualmente tengo 2 matrices unitarias que quiero aproximar a una buena precisión con la menor cantidad de puertas cuánticas posibles.

En mi caso las dos matrices son:

La raíz cuadrada de la puerta NOT (hasta una fase global) $G = \frac{- 1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} i & 1 \\ 1 & i \end{matrix}) = e^{- \frac{3}{4} π} \sqrt{X}$ $G = \frac{-1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} i & 1 \\ 1 & i \end{pmatrix} = e^{-\frac{3}{4}\pi} \sqrt{X}$
$W = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{- 1}{\sqrt{2}} & 0 0 \\ 0 & 0 0 & 0 0 & 1 \end{matrix})$ $W = \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&0\\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{2}}&0\\ 0&0&0&1 \\ \end{pmatrix}$

Mi pregunta es la siguiente:

¿Cómo puedo aproximar estas matrices específicas con la menor cantidad de puertas cuánticas posibles y una buena precisión?

Lo que quiero tener puede permitirme tenerlo:

Puedo permitirme usar varios días / semanas de tiempo de CPU y mucha RAM.
Puedo permitirme pasar 1 o 2 días humanos buscando trucos matemáticos (en última instancia, es por eso que pregunto aquí primero). Este tiempo no incluye el tiempo que necesitaría para implementar los algoritmos hipotéticos utilizados para el primer punto.
Quiero que la descomposición sea casi exacta. No tengo una precisión objetivo en este momento, pero las 2 puertas de arriba son utilizadas ampliamente por mi circuito y no quiero que los errores se acumulen demasiado.
Quiero que la descomposición use la menor cantidad de puertas cuánticas posibles. Este punto es secundario por el momento.
Un buen método me permitiría elegir la compensación que quiero entre el número de puertas cuánticas y la precisión de la aproximación. Si esto no es posible, es probable que se requiera una precisión de al menos (en términos de la norma de rastreo) (como se dijo anteriormente, no tengo estimaciones, por lo que no estoy seguro de este umbral). $10^{-6}$
El conjunto de puertas es: con como se describe en Wikipédia , la rotación con respecto al hacha ( es , o ) y . ${H, X, Y, Z, R_{ϕ}, S, T, R_{X}, R_{y}, R_{z}, CX, INTERCAMBIAR, iSWAP, \sqrt{INTERCAMBIAR}}$ $\left\{ H, X, Y, Z, R_\phi, S, T, R_x, R_y, R_z, \text{CX}, \text{SWAP}, \text{iSWAP}, \sqrt{\text{SWAP}} \right\}$ $R_\phi, \text{SWAP}, \sqrt{\text{SWAP}}$ $R_A$ $A$ $A$ $X$ $Y$ $Z$ $iSWAP = (\begin{matrix} 1 & 0 0 & 0 0 & 0 0 \\ 0 0 & 0 0 & yo & 0 0 \\ 0 0 & yo & 0 0 & 0 0 \\ 0 0 & 0 0 & 0 0 & 1 \end{matrix})$ $\text{iSWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

Los métodos que conozco:

El algoritmo Solovay-Kitaev. Tengo una implementación de este algoritmo y ya lo probé en varias matrices unitarias. El algoritmo genera secuencias que son bastante largas y la compensación [número de puertas cuánticas] VS [precisión de la aproximación] no es suficientemente parametrizable. Sin embargo, ejecutaré el algoritmo en estas puertas y editaré esta pregunta con los resultados que obtuve.
Dos documentos sobre aproximación de puerta de 1 qubit y aproximación de puerta de n qubit . También necesito probar estos algoritmos.

EDITAR: editó la pregunta para hacer más aparente la "raíz cuadrada de no".

quantum-gate gate-synthesis solovay-kitaev-algorithm

— Nelimee
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¿Tiene en mente algún conjunto de puertas específico y hay alguna razón por la que no pueda implementar forma nativa / directa en el qubit?

G

$G$

— Mithrandir24601

Editado para precisar el conjunto de puertas que tenía en mente :)

— Nelimee

Parece que W se puede hacer con el sqrt correcto (SWAP) + un CNOT + puertas de un solo qubit.

— Norbert Schuch

Tengo curiosidad por saber qué estás tratando de hacer con esto, si no te importa elaborar.

— psitae

Estas dos puertas están apareciendo en circuitos cuánticos para simular hamiltonianos muy simples (1 hamiltonianos dispersos con solo entradas reales o solo entradas imaginarias). La tesis que elabora sobre esto es bastante difícil de obtener. La única forma que encontré es pedir una copia aquí y esperar una respuesta en su buzón :)

— Nelimee

Ha elegido dos matrices particularmente simples para implementar.

La primera operación (G) es solo la raíz cuadrada de la puerta X (hasta la fase global):

En su conjunto de puertas, esto es $R_X(\pi/2)$ .

La segunda operación (W) es una matriz de Hadamard en el bloque medio de 2x2 de una matriz de otra identidad. Cada vez que vea este patrón de 2x2 en el medio, debe pensar "operación controlada conjugada por CNOT". Y eso es exactamente lo que funciona aquí (nota: es posible que deba cambiar las líneas; depende de su convención de endianness):

Entonces, el único problema real es cómo implementar una operación controlada de Hadamard. Un Hadamard es una rotación de 180 grados alrededor del eje X + Z. Puede usar una rotación de 45 grados alrededor del eje Y para mover el eje X + Z al eje X, luego hacer un CNOT en el lugar del CH, luego mover el eje hacia atrás:

$Y^{1/4} \equiv R_Y(\pi/4)$

— Craig Gidney
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$W$ $W \in O(4)$ $CNOTs$

La construcción es óptima en el sentido de que requiere dos compuertas CNOT y, como máximo, 12 compuertas de un solo qubit (para el caso más general de una compuerta real de dos qubit). La construcción se basa en el homomorfismo:

S O (4 4) \approx S U (2) \times S U (2),

$SO(4) \approx SU(2) \times SU(2),$

W

$W$

W = METRO U {METRO}^{†}

$W = M U M^{\dagger}$

U \in S U (2) \otimes S U (2)

$U\in SU(2) \otimes SU(2)$

$M$ $M$

Usando esta construcción, la implementación de puerta completa dada por Vatan y Williams es:

$S_1 = S_z(\frac{\pi}{2})$ $R_1 = S_y(\frac{\pi}{2})$

$A$ $B$

— David Bar Moshe
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Ninguna de estas puertas requiere secuencias aproximadas. Puede implementarlos exactamente con sus conjuntos de puertas especificados sin gran esfuerzo.

$HSH$

$W$

$U=\cos\frac{\pi}{8}\mathbb{I}-i\sin\frac{\pi}{8}Y$ $R_Y(\theta)$

— DaftWullie
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