Isomorfismo entre el grupo Clifford y los cuaterniones.

¿Cómo encuentro un isomorfismo explícito entre los elementos del grupo Clifford y unos 24 cuaterniones?

La parte fácil: la multiplicación de matrices debe corresponder a la multiplicación de cuaterniones.

La matriz de identidad debería asignarse al cuaternión . $I$ $1$

La parte difícil: ¿a qué deberían asignarse los otros elementos del grupo Clifford? Dado que los siguientes elementos generan el grupo completo, será suficiente asignarlos:

H = \frac{1}{\sqrt{2}} [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}] and P = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{matrix}]

$H=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}\text{ and }P=\begin{bmatrix}1&0\\0&i\end{bmatrix}$

¿Alguien puede ayudar?

clifford-group

— Registro de nudos
fuente

Los cuaterniones se representan fielmente en dos dimensiones mediante la matriz de unidades y las matrices de Pauli multiplicadas por la unidad imaginaria: , y respectivamente, por lo tanto solo necesita escribir y las combinaciones lineales: y $i = \sqrt{-1} X$ $j = \sqrt{-1} Y$ $k = \sqrt{-1} Z$ $H$ $P$ $H = -\frac{\sqrt{-1} }{\sqrt{2}}(i+k)$ $P = \frac{1+\sqrt{-1}}{2}(1-k)$

Sin embargo, esto no es un isomorfismo entre el grupo Clifford y los cuaterniones, porque aquí usamos los cuaterniones como álgebra, no como grupo. Lo que se puede decir es que el grupo Clifford es isomorfo a un subgrupo de elementos invertibles del álgebra cuaternión.

El término grupo Quaternion está reservado a otro subgrupo de elementos invertibles del álgebra de quaternion que consiste en , , y . Este grupo se llama el grupo quaternion. Este grupo puede generarse mediante rotaciones alrededor de dos ejes principales. Sin embargo, el grupo quaternion de orden 8 no es isomorfo al grupo Clifford de orden 24, que puede generarse mediante rotaciones alrededor de dos ejes principales. El grupo Clifford es, en cierto sentido, la raíz cuadrada del grupo quaternion. $\pm 1$ $\pm (-iX = R_x(\pi))$ $\pm (-iY = R_y(\pi))$ $\pm (-iZ = R_z(\pi))$ $\pi$ $\frac{\pi}{2}$

Aclaraciones

@ Registro de nudos, lo siento, te he engañado en dos puntos:

1) Las unidades imaginarias de los cuaterniones deben representarse como , , , ya que tienen que cuadrar a (I lo he corregido en el texto principal). $i = \sqrt{-1} X$ $j = \sqrt{-1} Y$ $k = \sqrt{-1} Z$ $-1$

2) Olvidé mencionar que necesitamos trabajar con el álgebra de quaternion sobre el campo complejo, es decir, necesitamos distinguir entre la unidad imaginaria compleja y el quaternion , (espero que te hayas ocupado de eso en su análisis, en cualquier caso, he agregado las expresiones explícitas de y al texto principal. Además, es correcto que las fases globales no sean importantes cuando usa los elementos como puertas cuánticas, y tomó correctamente las clases de equivalencia. $\sqrt{-1}$ $i$ $H$ $P$

Sin embargo, consulte el artículo de Michel Planat , en la sección 2.2. menciona que el grupo generado por y debe ser del orden 192, de modo que solo cuando eliminas un centro llegas al grupo Clifford de 24 elementos (no he hecho el trabajo yo mismo). $H$ $P$ $\mathbb{Z}_8$

Además, es posible generar el grupo de elementos directamente sin fases adicionales (consulte las notas de clase de Michel Devoret si comienza con generadores de determinante de unidad (por ejemplo, y ), porque el grupo Clifford es geométrico, ya que es isomorfo al grupo octaédrico , el grupo de simetrías del cubo o el octaedro y todos sus elementos son rotaciones, es decir, con Una unidad determinante. $24$ $R_x(\frac{\pi}{2})$ $R_z(\frac{\pi}{2})$

— David Bar Moshe
fuente

Gracias por su aclaración sobre el grupo Clifford / álgebra de Clifford / quaternions / quaternion group. Usted planteó mi pregunta como "¿Qué se puede decir que el grupo Clifford es isomorfo a un subgrupo de elementos invertibles del álgebra cuaternión". ¿Tienes una idea de cómo determinar estos cuaterniones?

— Registro de nudos

Sí, por ejemplo, puede escribir, mediante inspección: , luego puede usar la notación de cuaternión si lo desea y escribir , se puede hacer un ejercicio similar y expresar como una combinación lineal de y .

H = \frac{1}{\sqrt{2}} (X + Z)

$H = \frac{1}{\sqrt{2}}(X+Z)$

H = \frac{1}{\sqrt{2}} (i + k)

$H = \frac{1}{\sqrt{2}}(i+k)$

P

$P$

1

$1$

Z

$Z$

— David Bar Moshe

Creo que esto no es correcto. Si escribo y , estos dos Los elementos 'generan' 48 cuaterniones diferentes, que no corresponden a los 24 elementos del grupo Clifford.

H = \frac{1}{\sqrt{2}} (i + k)

$H=\frac{1}{\sqrt{2}}(i+k)$

P = \frac{1 + i}{2} + \frac{1 - i}{2} k

$P=\frac{1+i}{2}+\frac{1-i}{2}k$

— Registro de nudos

Estás en lo correcto. Si después de obtener estos 48 cuaterniones, considera las clases de equivalencia sin tener en cuenta el signo menos , entonces hay un isomorfismo con los 24 elementos del grupo Clifford. ¡Gracias!

— Registro de nudos

@ Registro de nudos, lo siento, lo he engañado en dos puntos, he agregado una aclaración en una actualización.

— David Bar Moshe