Construcción general de

Dos de los estados enredados más conocidos son el estado GHZ $|\psi\rangle = 1/\sqrt{2}\left( |0\rangle^{\otimes n} + |1\rangle^{\otimes n}\right)$ y el$W_n$-state, con$W_3 = 1/\sqrt{3}\left(|100\rangle + |010\rangle + |001\rangle\right)$.

La construcción del estado GHZ es simple para $n$ arbitraria . Sin embargo, implementar el estado $W_n$ es más difícil. Para $n=2$ es fácil, y para $n=4$ podemos usar

H q[0,3]
X q[0,3]
Toffoli q[0],q[3],q[1]
X q[0,3]
Toffoli q[0],q[3],q[2]
CNOT q[2],q[0]
CNOT q[2],q[3]

Incluso para $n=3$ tenemos implementaciones, vea esta respuesta por ejemplo. Sin embargo, no he encontrado un algoritmo que, dado un $n$ , emite el circuito para construir el estado $W_n$ .

¿Existe tal algoritmo, definido por puertas de uno y dos qubits? Y si es así, ¿qué es?

Sí, hay varias implementaciones de este algoritmo en el Kata cuántico de superposición (tareas 14 y 15):

• Para $n = 2^k$ , puede usar un algoritmo recursivo: cree un estado W en los primeros $2^{k-1}$ qubits, asigne un qubit ancilla en $|+\rangle$ Estado, realice algunos SWAP controlados para establecer el estado de los segundos $2^{k-1}$ qubits, y luego algunos NOT controlados para restablecer el ancilla de nuevo a $|0\rangle$ ( WState_PowerOfTwo_Referenceoperación).
• Para una $n$ arbitraria , puede usar un algoritmo recursivo como lo describe DaftWullie ( WState_Arbitrary_Referenceoperación).
• También hay un buen truco que puedes usar para crear un estado $W_n$ para un $n$ arbitrario usando el primer algoritmo recursivo. Asigne qubits adicionales para rellenar los $n$ dados a $2^k$ , cree un estado $W_{2^k}$ en ellos y mida los qubits adicionales; Si todos los qubits miden 0, el estado de los qubits originales es $W_n$ ; de lo contrario, reinicie y repita el proceso ( WState_Arbitrary_Postselectoperación).

Esta es mi tarea favorita de ese kata, porque permite muchos enfoques diferentes.

La forma conceptualmente más simple de producir un estado W es algo análogo al muestreo clásico de yacimientos , ya que involucra una serie de operaciones locales que finalmente crean un efecto uniforme.

Básicamente, observa cada qubit por turno y considera "¿cuánta amplitud me queda en el estado todo-0 y cuánto deseo transferir al estado de solo este qubit-está-ENCENDIDO?". Resulta que la familia de rotaciones que necesita es lo que llamaré las "puertas de probabilidades" que tienen la siguiente matriz:

$$M(p:q) = \sqrt{\frac{1}{p+q}} \begin{bmatrix} \sqrt{p} & \sqrt{q} \\ -\sqrt{q} & \sqrt{p} \end{bmatrix}$$

Usando estas puertas, puede obtener un estado W con una secuencia de operaciones cada vez más controladas:

$O(N^2 + N \lg(1/\epsilon))$$N$$\epsilon$

$O(N \lg(1/\epsilon))$

$N$$\sqrt{1/N}$

El paso grover parcial:

Cómo realizar una operación indexada (bueno ... más o menos. La figura más cercana tenía un acumulador que no es del todo correcto para este caso):

$O(N \lg(1/\epsilon))$$O(N + \lg(1/\epsilon))$

Puede definir la secuencia de forma recursiva. Conceptualmente, lo que quieres hacer es:

• $|0\rangle^{\otimes N}$

• $$\frac{1}{\sqrt{N}}\left(\begin{array}{cc} 1 & \sqrt{N-1} \\ \sqrt{N-1} & -1 \end{array}\right)$$

• $|W_{N-1}\rangle$$N$$|1\rangle$

• Aplique una puerta bit-flip en el qubit 1.

Este algoritmo, como se expresó, no está compuesto solo por compuertas de uno y dos qubits, pero ciertamente puede desglosarse como tal por construcciones de universalidad estándar.

$N=2^n$$n$$|1\rangle$$|W_2\rangle$$|W_4\rangle$$|W_8\rangle$ $O(\log N)$