¿Existe una regla simple para la inversa de la tabla estabilizadora de un circuito Clifford?

En Simulación mejorada de circuitos estabilizadores de Aaronson y Gottesman, se explica cómo calcular una tabla que describe a qué productos tensoriales Pauli se asignan los observables X y Z de cada qubit a medida que un circuito Clifford actúa sobre ellos.

Aquí como un ejemplo del circuito de Clifford:

0: -------@-----------X---
          |           |
1: ---@---|---@---@---@---
      |   |   |   |
2: ---|---|---@---|-------
      |   |       |
3: ---@---@-------Y-------

Y la tabla que describe cómo actúa sobre los observables X y Z de cada qubit:

       +---------------------+-
       | 0    1    2    3    |
+------+---------------------+-
| 0    | XZ   X_   __   Z_   |
| 1    | ZZ   YZ   Z_   ZZ   |
| 2    | __   Z_   XZ   __   |
| 3    | Z_   X_   __   XZ   |
+------+---------------------+-
| sign |  ++   ++   ++   ++  |
+------+---------------------+-

Cada columna de la tabla describe cómo actúa el circuito en el X observable (mitad izquierda de la columna) y Z observable (mitad derecha de la columna) de cada qubit. Por ejemplo, el lado izquierdo de la columna 3 es Z, Z, _, X, lo que significa que una operación X3 (Pauli X en el qubit 3) en el lado derecho del circuito es equivalente a una operación Z1 * Z2 * X4 en el lado izquierdo lado del circuito. La fila 'signo' indica el signo del producto, lo cual es importante si va a simular una medición (le indica si invertir o no el resultado).

También puede calcular la tabla para la inversa de un circuito. En el caso de ejemplo que he dado, la tabla inversa es esta:

       +---------------------+-
       | 0    1    2    3    |
+------+---------------------+-
| 0    | XZ   Y_   __   Z_   |
| 1    | _Z   YZ   Z_   _Z   |
| 2    | __   Z_   XZ   __   |
| 3    | Z_   Y_   __   XZ   |
+------+---------------------+-
| sign |  ++   -+   ++   ++  |
+------+---------------------+-

Las tablas se ven casi iguales si transpone sus filas y columnas. Pero las entradas no son exactamente idénticas. Además de la transposición, debe codificar las letras en bits ( _= 00, X= 01, Z= 10, Y= 11), luego intercambiar los bits intermedios y luego decodificar. Por ejemplo, ZZ codifica en 1010 que intercambia en 1100 que decodifica en Y_.

La pregunta que tengo es: ¿existe también una regla simple para calcular los signos de la tabla inversa?

Actualmente estoy invirtiendo estas tablas descomponiéndolas en circuitos, invirtiendo los circuitos y luego multiplicándolos nuevamente. Es extremadamente ineficiente en comparación con transponer + reemplazar, pero si voy a usar transponer + reemplazar necesito una regla de signos.

pauli-gates clifford-group

— Craig Gidney
fuente

Para aclarar la pregunta: ¿Que el circuito sea Clifford

. Luego, leer la columna

'th da

dependiendo de la mitad izquierda o derecha utilizada. Y desea

lugar de estos datos.

U

$U$

j

$j$

U X_{j} U^{†}

$U X_j U^\dagger$

U Z_{j} U^{†}

$U Z_j U^\dagger$

U^{†} X_{j} U

$U^\dagger X_j U$

U^{†} Z_{j} U

$U^\dagger Z_j U$

— AHusain

@AHusain Correcto.

— Craig Gidney

Para aclarar la pregunta: ¿qué significan las @ s en su circuito de Clifford?

— Josu Etxezarreta Martinez

@JosuEtxezarretaMartinez Esos son los controles. Cuando dos están conectados, es una puerta CZ. @ conectado a una X es una X controlada. @ conectado a Y es un Y controlado.

— Craig Gidney

Respuestas:

Hay una representación muy relacionada de la representación de cuadro de Aaronson (y Gottesman) , que funciona no solo para qubits sino también para qudits de dimensión finita arbitraria, que funciona particularmente bien para circuitos puramente de Clifford ( es decir, como máximo una medición de terminal).

En esta representación alternativa, uno tiene cuadros que describen cómo se transforman los operadores X y Z de un solo qubit, con información de fase, como en la representación habitual. Las columnas describen operadores Weyl de múltiples qubits específicamente, que son un subconjunto especial de los operadores Pauli. La ventaja de hacerlo es que el cuadro no es solo una matriz de coeficientes, sino un operador lineal real en los vectores que representan operadores y fases de Weyl.

Hay una pequeña trampa. Para los qubits, estos vectores tienen coeficientes que son enteros módulo 4 (correspondiente a una doble cobertura de los operadores Pauli de un solo qubit no triviales por parte de los operadores Weyl), en lugar del módulo 2. Creo que este es un pequeño precio a pagar, aunque yo podría estar ligeramente sesgado, ya que es mi propio resultado [ arXiv: 1102.3354 ]. Sin embargo, parece ser una representación algo 'natural': Appleby desarrolló el caso especial de un solo qubit o qudit algo antes [ arXiv: quant-ph / 0412001 ] (algo que realmente me hubiera gustado saber antes de pasar dos años innecesariamente recreando esencialmente las mismas convenciones).

$M_C$ $C$ $C^{\dagger}$ $M_C^{-1}$

— Niel de Beaudrap
fuente

¿Podría vincular a diapositivas o notas de clase que describan los operadores de Weyl?

— Craig Gidney

¿Está relacionado de alguna manera con el reemplazo de la "base de Pauli" {I, X, Y, Z} con la "base de cuaternión" {I, iX, iY, iZ} al rastrear los vectores del producto?

— Craig Gidney

Es de suponer que cuando se habla de qubits, el documento original es este uno

— DaftWullie

W_{a, b} = i^{- (a \codt b)} Z_{a} X_{b}

$W_{\mathbf a,\mathbf b}=i^{-(\mathbf a\codt\mathbf b)}Z_{\mathbf a}X_{\mathbf b}$

a, b \in Z_{4}^{n}

$\mathbf a,\mathbf b\in\mathbb Z^n_4$

— Niel de Beaudrap

@DaftWullie: No, [arXiv: quant-ph / 9608006 ] es estrictamente diferente. Indizan las potencias de X y Z mediante vectores mod 2 (consulte el texto que precede a la ecuación 2), que se refleja en la estructura de grupo aditivo de GF (4). Sus observaciones sobre las transformaciones simplécticas en la p.8 se aplican así a las fases del módulo del grupo Pauli. Appleby y yo no pretendemos ser los primeros en tener una representación elegante para el grupo de Pauli en qubits: el punto es que nuestra representación rastrea con mayor gracia las fases. Eso es menos importante para descubrir QECC, pero crucial para simular estados.

— Niel de Beaudrap

Para extraer las técnicas Aaronson y Gottesman un poco más explícita: se puede configurar cada estabilizador como una cadena de bits de longitud $2N$ (para donde cada uno de los bloques es . Por el hecho de que los estabilizadores conmutan, sabemos que $N$ $N$ $N$ $X$ $X_1Z_2$ $N=2$ $8\times 8$

METRO = (\begin{array}{cc} UNA & si \\ C & re \end{array}),

$M=\left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right),$

N \times N

$N\times N$

(\begin{array}{cc} UNA & si \\ C & re \end{array}) \cdot (\begin{array}{cc} 0 0 & yo \\ yo & 0 0 \end{array}) \cdot {(\begin{array}{cc} UNA & si \\ C & re \end{array})}^{T} \equiv 0 0 modificación 2

$\left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc} 0 & \mathbb{I} \\ \mathbb{I} & 0 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right)^T\equiv 0\text{ mod }2$

M

$M$

(\begin{array}{cc} {re}^{T} & {si}^{T} \\ C^{T} & {UNA}^{T} \end{array})

$\left(\begin{array}{cc} D^T & B^T \\ C^T & A^T \end{array}\right)$

2 \times 2

$2\times 2$

El desorden, por supuesto, proviene de hacer un seguimiento de las fases. Supongo que los signos estarán relacionados con un cambio en el número de operadores Y en cada estabilizador, pero no he tenido éxito en un tratamiento unificado. La respuesta de Niel probablemente hace un mejor trabajo al atenderla automáticamente.

— DaftWullie
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