Geometría de matrices de qutrit y Gell-Mann

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Necesito algunas fuentes útiles sobre la geometría de qutrit. Específicamente relacionado con la representación matricial de Gell-Mann.

resource-request qutrit state-space-geometry

— Azadeh Zohrabi
fuente

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¡Hola! ¿Qué información específica está buscando sobre la relación entre las matrices de Gell-Mann y la geometría de los qutrits? ¿Estaría dispuesto a ampliar un poco su pregunta?

— Niel de Beaudrap

arxiv.org/abs/1501.00054 página 9. Si esto coincide con el tipo de cosas que está buscando, expandiré más.

— AHusain

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Hay muchas formas de describir un qutrit o un sistema general de nivel geométricamente. También hay una gran cantidad de referencias que explican estas geometrías o las aplican a varios problemas en la información cuántica. Trataré de explicar aquí un método geométrico bastante general, algo detallado. $N$

Este método es una generalización de la esfera Bloch del qubit, sin embargo, el caso qubit es degenerado porque la esfera Bloch describe el espacio de parámetros de qubits puros y mixtos (pero no el caso máximo mixto), mientras que en el caso general, el La geometría del espacio de parámetros depende de la estructura de degeneración de los valores propios de la matriz de densidad.

La descripción se basa en la fórmula de diagonalización de la matriz de densidad de una matriz de densidad de nivel general : Donde es la matriz de valor propio, que en el caso más general tiene la forma: $N$

ρ = U Λ U^{- 1}

$\rho = U \Lambda U^{-1}$

Λ

$\Lambda$

La matriz

es unamatriz unitaria

dimensional, es decir, que pertenece algrupo unitario

dimensional

.

Λ = d i a g (\underset{N_{1} t i m e s}{\underset{⏟}{λ_{1}, λ_{1}, \dots}}, \underset{N_{2} t i m e s}{\underset{⏟}{λ_{2}, λ_{2}, \dots}}, . . . ., \underset{N_{k} t i m e s}{\underset{⏟}{λ_{k}, λ_{k}, \dots}})

$\Lambda = \mathrm{diag}(\underbrace{\lambda_1, \lambda_1, …}_{N_1 \mathrm{times}}, \underbrace{\lambda_2, \lambda_2, …}_{N_2 \mathrm{times}}, ...., \underbrace{\lambda_k, \lambda_k, …}_{N_k \mathrm{times}})$

U

$U$

N

$N$

N

$N$

U (N)

$U(N)$

\sum_{i = 1}^{k} N_{i} λ_{i} = 1 a n d λ_{i} \geq 0 f o r a l l i

$\sum_{i=1}^{k}N_i \lambda_i = 1 \space\mathrm{and} \space \lambda_i \ge 0 \space \mathrm{for \space all}\space i$

N_{i}

$N_i$

U (N_{i})

$U(N_i)$

\frac{U (N)}{U (N_{1}) \times U (N_{2}) \dots \times U (N_{k})}

$\frac {U(N)}{U(N_1) \times U(N_2) … \times U(N_k)}$

d = N^{2} - \sum_{i} N_{i}^{2}

$d = N^2-\sum_i N_i^2$

Λ = d i a g (1, 0, 0)

$\Lambda = \mathrm{diag}(1, 0, 0)$

C P^{2} = \frac{U (3)}{U (1) \times U (2)}

$\mathbb{C}P^2 = \frac {U(3)}{U(1) \times U(2)}$

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$4$

v = \frac{1}{\sqrt{1 + | z_{1} |^{2} + | z_{2} |^{2}}} (\begin{matrix} 1 \\ z_{1} \\ z_{2} \end{matrix})

$v = \frac{1}{\sqrt{1+|z_1|^2+|z_2|^2}}\begin{pmatrix}1 \\z_1 \\ z_2 \end{pmatrix}$

(z_{1}, z_{2})

$(z_1, z_2)$

C P^{2}

$\mathbb{C}P^2$

ρ (z_{1}, z_{2}, {\bar{z}}_{1}, {\bar{z}}_{2}) = v v^{†} = \frac{1}{1 + | z_{1} |^{2} + | z_{2} |^{2}} (\begin{matrix} 1 & {\bar{z}}_{1} & {\bar{z}}_{2} \\ z_{1} & z_{1} {\bar{z}}_{1} & z_{1} {\bar{z}}_{2} \\ z_{2} & z_{2} {\bar{z}}_{1} & z_{2} {\bar{z}}_{2} \end{matrix})

$\rho(z_1, z_2, \bar{z}_1, \bar{z}_2) = v v^{\dagger} = \frac{1}{1+|z_1|^2+|z_2|^2}\begin{pmatrix}1 &\bar{z}_1 & \bar{z}_2 \\ z_1 &z_1 \bar{z}_1 & z_1 \bar{z}_2 \\ z_2 &z_2 \bar{z}_1 & z_2 \bar{z}_2 \end{pmatrix}$

ω_{α \bar{β}} = t r \partial_{α} ρ {\bar{\partial}}_{β} ρ

$\omega_{\alpha \bar{\beta}} = \mathrm{tr}\partial_{\alpha} \rho \bar{\partial}_{\beta} \rho$

ω_{α \bar{β}} = \partial_{α} {\bar{\partial}}_{β} K

$\omega_{\alpha \bar{\beta}} = \partial_{\alpha} \bar{\partial}_{\beta} K$

K = \ln (1 + | z_{1} |^{2} + | z_{2} |^{2})

$K = \ln(1 + |z_1|^2 +|z_2|^2)$

G_{i}, i = 1, \dots, 8

$\mathbf{G}_i, \space i=1,…,8$

G (z_{1}, z_{2}, {\bar{z}}_{1}, {\bar{z}}_{2}) = t r (ρ (z_{1}, z_{2}, {\bar{z}}_{1}, {\bar{z}}_{2}) G_{i})

$G (z_1, z_2, \bar{z}_1, \bar{z}_2) = \mathrm{tr}(\rho(z_1, z_2, \bar{z}_1, \bar{z}_2) \mathbf{G}_i)$

$\mathbb{C}P^2$ $\mathfrak{su}(3)$

{G_{i}, G_{j}} = ω^{α \bar{β}} (\partial_{α} G_{i} {\bar{\partial}}_{α} G_{j} - \partial_{α} G_{j} {\bar{\partial}}_{α} G_{i})

$\{G_i, G_j\} = \omega^{\alpha \bar{\beta}} (\partial_{\alpha} G_i \bar{\partial}_{\alpha} G_j - \partial_{\alpha} G_j\bar{\partial}_{\alpha} G_i )$

$\omega$

Esta formulación del qutrit permite muchas aplicaciones en la teoría de la información cuántica, vea, por ejemplo, Hughston y Salamon , donde construyen un SIC-POVM usando esta parametrización.

A_{α} = (\partial_{α} - {\bar{\partial}}_{α}) K

$A_{\alpha} = (\partial_{\alpha} - \bar{\partial}_{\alpha })K$

$\mathbb{C}P^N$

$\mathbb{C}P^2$

g_{α \bar{β}} = \frac{(1 + | z_{1} |^{2} + | z_{2} |^{2}) δ_{α β} - z_{α} \bar{z_{β}}}{(1 + | z_{1} |^{2} + | z_{2} |^{2})^{2}}

$g_{\alpha \bar{\beta}}= \frac{(1 + |z_1|^2 +|z_2|^2)\delta_{\alpha \beta}-z_{\alpha} \bar{z_{\beta}} }{(1 + |z_1|^2 +|z_2|^2)^2}$

— David Bar Moshe
fuente

ω_{K K S}

$\omega_{KKS}$

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@AHusain ¡Gracias por la referencia! y gracias por mencionar la relación de la métrica con la matriz de información de Fisher. En realidad, la primera ecuación anterior para la forma KKS es idéntica a la ecuación en su Proposición II.2. , expresado en coordenadas complejas. Como mencioné, estos autores no usan la misma parametrización compleja. Prefieren trabajar en el espacio tangente. Esto es posible ya que la variedad es homogénea, sin embargo, es difícil evaluar en su parametrización las cantidades geométricas globales, como cuál es el volumen del espacio de estados.

— David Bar Moshe

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Si es dificil. La misma variedad con la estructura de información de Fisher en lugar de la estructura de Kahler es mucho más fea. Los autores de ese artículo y yo hemos tratado de ver cuál es la diferencia entre las fases Berry de las dos estructuras, pero nada bonito.

— AHusain

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I need some useful sources about the geometry of qutrit.

El recurso más útil que conozco sobre las geometrías de los qutrits es la Geometría de papel de la esfera generalizada de Bloch para qutrits .

Specifically related to the Gell-Mann matrix representation.

Las ocho matrices de Gell-Mann, que forman una de las generalizaciones de las matrices de Pauli a sistemas de 3 niveles, están involucradas en lo que a veces se llama la "representación de Bloch de un qutrit". Esto se describe en la página 4 del documento vinculado anterior.

Si está interesado en las matemáticas de la geometría de los qutrits, el recurso anterior es probablemente el mejor disponible. Si está más interesado en la visualización de qutrits, la visualización tridimensional en papel de un qutrit es el mejor recurso que conozco. Tenga en cuenta que las generalizaciones de la esfera Bloch para qudits de dimensiones superiores nunca serán tan simples y elegantes como la esfera Bloch para sistemas de 2 niveles, así como las hiperesferas 4D no son tan fáciles de visualizar como las esferas 3D.

— usuario1271772
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