¿Una función de Wigner determina de forma única un estado cuántico?

Sabemos que la función de Wigner de un estado cuántico gaussiano es (hasta una constante) una distribución gaussiana. El primer momento y la covarianza de esta distribución especifican unívocamente un estado cuántico. Por lo tanto, una función de Wigner determina únicamente un estado gaussiano.

¿Hay alguna declaración similar que se aplique a los estados no gaussianos?

$\rho$
$\rho$$P(x,p)$
$P(x,p)$$\rho$
$\rho$ no era único, entonces no sería posible definir una transformación inversa (pero tenemos una transformación inversa, a saber, la transformación de Weyl, por lo que la transformación de Wigner genera una caracterización única de un estado cuántico).

También se ha señalado en el Physics Stack Exchange , que la función Wigner contiene toda la información sobre un estado cuántico, al igual que la matriz de densidad.