¿Cómo construir una Z controlada por múltiples qub a partir de puertas elementales?

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Para la implementación de un cierto algoritmo cuántico, necesito construir una puerta Z controlada de múltiples qubits (en este caso, tres qubits) a partir de un conjunto de puertas elementales, como se muestra en la figura a continuación. .

Las puertas que puedo usar son

las puertas Pauli y todos sus poderes (es decir, todas las rotaciones de Pauli hasta un factor de fase), $\rm X, Y, Z$
${\rm exp}(i\theta|11\rangle\langle11|)$ (rotación sobre proyector), $|11\rangle\langle11|$
$\rm H$ (Hadamard),
$\rm C_X$ (X- controlado por un solo qubit),
$\rm C_Z$ (un solo qubit controlado-Z), y
$\rm S$ (SWAP).

¿Cómo puedo construir este Z controlado de tres qubits desde estas puertas? He leído varios documentos sobre descomposiciones de circuitos, pero ninguno de ellos pudo darme una respuesta clara y concisa.

quantum-gate gate-synthesis

— Dyon J Don Kiwi van Vreumingen
fuente

¿Debe su cuarto registro tener una Z en lugar de un círculo negro?

— usuario1271772

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@ user1271772 Ambos están bien. Como las compuertas Z controladas son simétricas en los qubits utilizados (es decir, uno puede intercambiar dos qubits y el efecto de la compuerta seguirá siendo el mismo), una notación sin orden, como la que tiene puntos negros, se ha considerado más apropiada en la literatura reciente.

— Dyon J Don Kiwi van Vreumingen

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(EDITAR: Mejorado a 14 CNOT).

Se puede hacer con 14 CNOT, más 15 rotaciones Z de un solo qubit, y sin qubits auxiliares.

El circuito correspondiente es

donde las puertas $\fbox{$\pm$}$ son rotaciones

R_{z} (\pm π / 16) \propto (\begin{matrix} 1 \\ e^{\pm i π / 8} \end{matrix})

$R_z(\pm\pi/16)\propto \left(\begin{matrix}1\\&e^{\pm i\pi/8} \end{matrix}\right)$

Derivación:

Utilizando el procedimiento descrito en https://arxiv.org/abs/quant-ph/0303063 ¹ , cualquier compuerta diagonal, en particular la compuerta CCCZ, puede descomponerse en términos de, por ejemplo, CNOT y compuertas diagonales de un qubit, donde los CNOT se pueden optimizar por sí mismos siguiendo un procedimiento de optimización clásico.

La referencia proporciona un circuito que usa 16 CNOT para puertas diagonales arbitrarias de 4 qubits (Fig. 4).

Esto se puede mejorar si se pueden acoplar pares arbitrarios de qubits a 14 qubits. Para los vecinos más cercanos con condiciones de límite periódicas (abiertas), esto se puede hacer con 16 (18) CNOT. Los circuitos correspondientes se pueden encontrar en https://epub.uni-regensburg.de/1511/ ¹ , Fig. 5.2, 5.4 y 5.5, y se pueden obtener, por ejemplo, utilizando métodos para construir secuencias de Gray cortas.

El número de puertas de un qubit siempre es 15.

Observación: Si bien en principio podría haber un circuito más simple (dicho circuito se ha optimizado con una arquitectura de circuito más restringida en mente), debería ser casi óptimo: el circuito necesita crear todos los estados de la forma $\bigoplus_{i\in I}x_i$ para cualquier subconjunto no trivial $I\subset\{1,2,3,4\}$ , y hay 15 de esos para 4 qubits.

Tenga en cuenta también que esta construcción de ninguna manera debe ser óptima.

^{1 Nota: soy autor}

— Norbert Schuch
fuente

¿Y el uso de compuertas Rx (o Ry) en lugar de compuertas Rz lo convertiría en una compuerta X (o Y-controlada) de múltiples qubits?

— Sierox

@Sierox Solo necesita transformar Hadamard todo en el qubit inferior, es decir, los CNOT correspondientes se convertirán en CZ y las rotaciones en el qubit inferior se convertirán en X rotaciones.

— Norbert Schuch

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Puede implementar una controlada por qubit por el circuito dado en esta respuesta . Basta con sustituir por . Sin embargo, esto requiere puertas CCNOT (Toffoli), y tiene algunas opciones sobre cómo implementar CCNOT usando puertas elementales . $n$ $U$ $U$ $Z$

— usuario1271772
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Eso da un circuito con una profundidad potencialmente excesiva. Tal vez el OP quiere un circuito menos profundo con esa puerta configurada. Se puede hacer un procedimiento automático para reducir moderadamente los tamaños de circuito.

— AHusain el

@AHusain: ¿Cuál es el procedimiento automático?

— usuario1271772

2

Utiliza resultados de la teoría de grupos automáticos, por lo que fue un juego de palabras. La explicación iría a otro lado; No es un comentario corto.

— AHusain

De acuerdo @AHusain, ¡voy a hacer una pregunta para ti!

— user1271772

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Aquí hay una construcción CCCZ que utiliza 29 puertas :

Si se le permite usar la medición y el avance clásico, el recuento de puertas se puede reducir a 25 :

(Las puertas Hadamard se pueden reemplazar con raíces cuadradas de Y si es necesario para cumplir con la restricción de conjunto de puertas).

Y si me permite realizar compuertas Controlled-S y compuertas Control-sqrt (X) y realizar mediciones de base X, entonces puedo reducirlo a un total de 10 compuertas :

— Craig Gidney
fuente

Pero está utilizando una medida + puerta controlada condicional al final. Diría que está fuera de las reglas "normales" del juego. (Por ejemplo, si reemplaza esto por una puerta controlada y pospone la medición, aún usaría un Toffoli.)

— Norbert Schuch

1

@NorbertSchuch Es por eso que presento el segundo diagrama con "si se le permite usar la medición y el avance clásico". Observe que el primer diagrama no usa esas cosas.

— Craig Gidney el

UPS. Lo siento. Mea culpa. No debería haber mirado las fotos y desplazarme un poco: - |

— Norbert Schuch

Al final del primer circuito, se descarta el quinto qubit. ¿Cómo tendría que tratar ese qubit si necesitaba varias CCCZ en secuencia?

— Dyon J Don Kiwi van Vreumingen

Lo alimentarías en el próximo CCCZ, pero soltarías las dos primeras operaciones en el segundo circuito del CCCZ. Esas operaciones lo están preparando en un estado T, que es el estado final del qubit descartado. Entonces el segundo CCCZ tendría 2 operaciones menos.

— Craig Gidney el

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Estoy publicando otra descomposición de CCCZ aquí en caso de que sea útil para cualquier otra persona que intente compilar CCCZ. Requiere un número menor de puertas totales, y solo 1 qubit auxiliar en lugar de 2, pero cinco puertas más de 2 qubit que la respuesta "obvia", por lo que en realidad puede ser peor para la implementación en hardware.

Fue sugerido por el usuario @Rob en este comentario: Compilación automática de circuitos cuánticos , y proviene de este documento .

$(\chi)$

$n=5$ $\chi_{ij}=\chi$

— usuario1271772
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χ_{i j}

$\chi_{ij}$

@NorbertSchuch: la pregunta pide que CCCZ no inicie sesión (CCCZ). Si tuviéramos que hacer log (CCCZ), lo que presumiblemente sugieres ya que GMS5 es un exponencial de compuertas elementales y el logaritmo de esto posiblemente sería más sencillo de implementar, ¿sería fácil obtener la salida de CCCZ de la respuesta al log ( CCCZ)?

— user1271772

No tengo ni idea de lo que estás hablando. Las sumas de productos o Paulis NO son fáciles de implementar. Ni siquiera son unitarios. --- Pero los logaritmos de las unidades unitarias son hamiltonianos, así que si puedes evolucionar en el tiempo con log (CCCZ) a través de una configuración experimental inteligente, obtendrás CCCZ con "una puerta" en este conteo.

— Norbert Schuch

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@NorbertSchuch: Su comentario "exp (-iHt) es apenas adiabático" es semánticamente nulo y no tiene ningún sentido. ¿Por qué me preguntaste "por qué no simplemente tomar el logaritmo de la puerta del CCCZ?" ?

— user1271772

1

@ user1271772 solo para agregar a lo que (creo) que Norbert dice en los comentarios: el problema de tratar de encontrar Hamiltonianos independientes del tiempo que generen directamente puertas no triviales (CCX y otros se consideran en el documento) se ha estudiado en arxiv.org/ abs / 1803.07119 . El problema en esta configuración es encontrar Hamiltonianos que contengan solo interacciones factibles y sigan generando la puerta objetivo. El recurso se convierte así en lo que permiten las interacciones hamiltonianas, en lugar de lo que las puertas elementales están permitidas

— glS

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$T$ $Z^{1/4}$

$T$ $|1\rangle$ $HXTXT^\dagger XTXT^\dagger H$ $XT^\dagger X=Te^{-i\pi/4}$ $-iHT^4H=-iX$ $Z^{1/4}$ $XZ^{-1/4}X=Z^{1/4}$

Además, tenga en cuenta que las dos puertas Toffoli son solo Toffoli porque apuntan al estado 0. Por lo general, necesitaría una puerta adicional de dos qubit.

No he encontrado una construcción tan eficiente en la literatura existente, aunque este documento afirma una construcción que usa solo 11 puertas de 2 qubits, pero no he hecho un recuento completo de la puerta una vez que se ha convertido en el conjunto de puertas restringidas de la pregunta.

— DaftWullie
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Siente que no estás desconfiando de algo. en la mitad inferior del circuito, pero no lo pensé mucho;)

— Norbert Schuch

Despuché el ancilla, aparte de una irrelevante rotación de un solo qubit en él. Eso es lo que hace el último Toffoli. Supongo que Toffoli debería estar entre comillas, ya que le falta esa 1 puerta al final.

— DaftWullie

¿Estás seguro de que el primer bloque es un Toffoli, o es solo un Toffoli en la ancilla? (Recuerdo que lo mejor que se podía hacer por Toffoli era alrededor de 8 CNOT).

— Norbert Schuch

Creo que te estás perdiendo una corrección de fase CS en los dos qubits superiores en el bloque central. Debería poder soltar la CZ más a la izquierda de cada uno de los bloques laterales.

— Craig Gidney el

Lo revisaré cuidadosamente el martes. Pensé que esta formulación evitaba el CS.

— DaftWullie

2

Si bien mi otra respuesta es la forma más obvia de "libro de texto" (usando la descomposición CCCZ de Nielsen & Chaung en CCNOT , luego otra descomposición de libro de texto para compilar los CCNOT ), una forma más creativa podría permitirnos hacer el trabajo con menos puertas.

Paso 1:

Reemplace todos los CNOT en el circuito de Nielsen y Chuang con este gadget:

Paso 2:

Ahora tenemos un montón de CCZ en lugar de CCNOT, y se pueden descomponer de esta manera (cortesía de este documento ):

Paso 3:

$H^2 = I$

— usuario1271772
fuente

¿Qué cuenta la puerta?

— Norbert Schuch