Importancia de las operaciones de Clifford desde la perspectiva de corrección de error cuántico

En la literatura sobre QECC, las puertas Clifford ocupan un estado elevado.

Considere los siguientes ejemplos que dan fe de esto:

• Cuando estudias códigos de estabilizadores, estudias por separado cómo realizar compuertas Clifford codificadas (incluso si no son aplicables transversalmente). Todo el material introductorio sobre QECC enfatiza en la realización de operaciones codificadas de Clifford en códigos cuánticos. Y de lo contrario también, enfatice las puertas Clifford (es decir, incluso cuando no se realizan puertas Clifford codificadas en códigos cuánticos).

• Todo el tema de la destilación del estado mágico * se basa en la clasificación de ciertas operaciones (incluido el rendimiento de las puertas Clifford) como operaciones de bajo costo, mientras, por ejemplo, se realiza la puerta toffoli o la puerta , como operaciones de mayor costo.$\pi/8$

Respuestas posibles:

1. Esto se ha justificado en ciertos lugares de la literatura, por ejemplo, la tesis doctoral de Gottesman y muchos documentos escritos por él, y también en https://arxiv.org/abs/quant-ph/0403025 . La razón dada en estos lugares es que es posible realizar algunas puertas Clifford transversalmente (una operación prototípica tolerante a fallas) en ciertos códigos estabilizadores. Por otro lado, no es fácil encontrar una aplicación transversal de puertas que no sean de Clifford en códigos cuánticos. No lo he verificado yo mismo, pero solo voy por las declaraciones que Gottesman hace en su doctorado. disertación y algunos artículos de revisión.

No poder realizar una puerta codificada transversalmente en un código cuántico aumenta inmediatamente el costo de realizar dicha puerta en el código. Y por lo tanto, realizar puertas Clifford entra en la categoría de bajo costo, mientras que las puertas que no son Clifford entran en la categoría de alto costo.

2. Desde una perspectiva de ingeniería, es importante decidir sobre una lista estandarizada de unidades básicas de cómputo cuántico (preparación de estado, compuertas, observables / base de medición), etc. La realización de compuertas Clifford constituye una opción conveniente en esa lista debido a múltiples razones (los conjuntos más conocidos de puertas cuánticas universales incluyen muchas puertas Clifford en ellas, el teorema de Gottesman-Knill **, etc.).

Estas son las dos únicas razones por las que podría pensar por qué el grupo Clifford tiene un estado tan elevado en el estudio de QECC (particularmente cuando está estudiando códigos estabilizadores). Ambas razones provienen de una perspectiva de ingeniería.

Entonces, la pregunta es ¿se pueden identificar otras razones, que no provienen de una perspectiva de ingeniería? ¿Hay algún otro papel importante que juegan las puertas de Clifford, que me he perdido?

Posible otra razón: sé que el grupo Clifford es el normalizador del grupo Pauli en el grupo Unitario (en sistemas qubit). Además, que tiene una estructura de producto semidirecto (en realidad, una representación proyectiva del grupo de productos semidirecto). ¿Estas relaciones / propiedades por sí mismas dan otra razón por la cual uno debería estudiar el grupo Clifford en asociación con los códigos del estabilizador?$n$

* Siéntase libre de corregir esto. ** Que establece que restringido a ciertas operaciones, no puede obtener la ventaja cuántica, y por lo tanto necesita un poco más que el conjunto de operaciones que inicialmente se restringió.

Las operaciones de Clifford son a menudo fáciles de realizar con tolerancia a fallas en los códigos del estabilizador, ya sea transversalmente o por deformación del código. La razón es exactamente como pensaba: la relación especial entre estas puertas y los Paulis, ya que estos últimos se utilizan para definir códigos estabilizadores.

Es posible obtener puertas que no sean de Clifford en códigos, pero se debe pagar un precio. Específicamente, existe una relación entre la localidad geométrica de los códigos y las puertas que pueden hacer transversalmente. Por lo tanto, si se le permite hacer solo puertas controladas por el vecino más cercano en una red 2D (como una superficie o un código de color), solo serán posibles los Cliffords. Ver documentos como este para más información sobre esto.

El hecho de que podamos esperar Cliffords tolerantes a fallas de los códigos estabilizadores se ha puesto posteriormente en el centro de las técnicas para sintetizar conjuntos de puertas universales. Entonces, si hay una manera de crear un estado codificado sin estabilizador de una manera no tolerante a fallas, sabemos cómo limpiarlo utilizando nuestros Clifford lógicos. Para convertir estos estados en rotaciones, usamos nuestros Cliffords lógicos. Entonces, si tiene un código y desea aplicar todos estos resultados estándar, será mejor que encuentre sus Cliffords tolerantes a fallas. O al menos Paulis, H y una CZ o CNOT si no puedes manejarlos a todos.