¿Cómo se usaría una computadora cuántica para resolver ecuaciones diferenciales parciales?

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Digamos que tiene un PDE que desea resolver.

¿Qué tipo de algoritmos cuánticos usarías para resolverlo? ¿Cómo ingresamos nuestro problema en una computadora cuántica? ¿Cuál será el resultado y de qué forma?

Sé que los algoritmos cuánticos para resolver sistemas lineales (a menudo llamados HHL, pero en realidad este es un mal nombre ya que otras versiones no son de los autores de HHL) se enumeraron antes, pero tal vez hay otros métodos disponibles. Además, como se considera como una subrutina, la salida es cuántica y, a menos que desee obtener estadísticas de ella o usarla como entrada de otro algoritmo cuántico, es limitante.

algorithm

— canadá
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¿Qué tan general quiere que sea su PDE? Es lineal?

— AHusain

Si tiene en mente diferentes configuraciones de PDE, me gustaría saber para cada una. Diga lineal, por ejemplo, primero porque supongo que no lineal puede ser más difícil de hacer.

— Canadá

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No tengo una respuesta exacta a su pregunta (si realmente existe); pero puedo responder parte de su pregunta relacionada con la E / S a un procesador cuántico.

Como regla general; Los algoritmos cuánticos (actualmente) no pueden proporcionar respuestas directas a las declaraciones de problemas. Al menos por ahora, los procesadores cuánticos existen como aceleradores heterogéneos con una unidad de computación clásica. El 'acelerador cuántico' se refiere solo a esa parte del algoritmo general que no es trivial (o exponencial en complejidad) para resolver en una computadora clásica. Al final, solo una parte secundaria del programa se calcula realmente en el procesador cuántico. (Por ejemplo, el algoritmo de factorización de Shor es en realidad un algoritmo de búsqueda de períodos. La búsqueda de períodos es una tarea no trivial).

Entre varias otras razones, uno de los principales problemas es la operación de entrada y salida con un procesador cuántico. El problema 'debe' ser expresable en forma concisa (por ejemplo, una ecuación). Esta ecuación se expresa como un circuito cuántico en el 'oráculo' que se ocupa principalmente de resolver la ecuación y se registran los resultados de la medición (tomografía). La salida también necesita un procesamiento posterior para que tenga sentido (que nuevamente es realizada por la contraparte clásica).

PD: Me interesaría saber más sobre PDE que resuelve algoritmos cuánticos; si hay uno eficiente

— viliyar
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Entiendo el punto de vista "general". Simplemente no es trivial para mí cómo modelamos la resolución PDE en una computadora cuántica. Esto es directo en HHL porque su problema puede expresarse como un sistema lineal Ax = f cuando hace discretización. Simplemente expresa su f como un estado cuántico (su primera entrada), use A en una forma hermitiana para la estimación de fase, por ejemplo (segunda entrada) y mediante el uso de la subrutina que usa rotación controlada y no computación (al menos para la versión original de HHL ) tiene su salida como un estado cuántico.

— Canadá

Esto se vuelve de alguna manera eficiente en el tamaño del problema porque usa la dimensionalidad exponencial del espacio de Hilbert para codificar las amplitudes de probabilidad de la función de onda.

— Cnada

Pero me pregunto si hay otras formas / algoritmos para las PDE.

— Canadá

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Encontré un enfoque para resolver ecuaciones diferenciales usando el anillador cuántico de onda D. El enlace está aquí: https://arxiv.org/abs/1812.10572 .

El método básico es derivar la energía funcional para la ecuación diferencial que luego se minimiza en un recocido cuántico. La minimización puede usar la base de elementos finitos para mapear la energía a un sub gráfico localizado de la máquina de ondas D.

$\mathcal{O}(n)$

— Jeremy
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O (n)

$\mathcal{O}(n)$

O (s \sqrt{κ})

$\mathcal{O}(s \sqrt{\kappa})$

s

$s$

κ

$\kappa$