Número mínimo de CNOT para un incremento de 4 qubits en una cuadrícula plana

Recientemente me he estado preguntando qué tan altas podrán "contar" las máquinas NISQ. Lo que quiero decir con eso es que, dado el circuito de incremento más optimizado que puede hacer, ¿cuántas veces puede aplicar físicamente ese circuito a qubits en un estado inicial secreto antes de que haya una probabilidad de más del 50% de que la salida sea el valor incorrecto?

Para ese fin, ¡necesito un buen circuito de incremento que realmente funcione en una máquina NISQ! Por ejemplo, esto significa respetar las restricciones de localidad y calcular el costo del circuito en función de cuántas operaciones de 2 qubits se realizan (ya que son las más ruidosas). Para simplificar, diré que el conjunto de compuertas es "cualquier operación de qubit único + CNOT locales en una cuadrícula".

Me parece claro que una máquina NISQ debería poder aplicar un incrementador de 3 qubits al menos 8 veces (por lo que vuelve a 0 y pierde la cuenta), pero creo que envolver un contador de 4 qubits es mucho más desafiante. Por lo tanto, esta pregunta se centra específicamente en ese tamaño.

Un incrementador de 4 qubits es un circuito que afecta la permutación de estado . El valor debe almacenarse como un entero binario del complemento 2s en cuatro qubits. Si el valor está bajo superposición, aún debe ser coherente después de aplicar el incrementador (es decir, sin enredarse con otros qubits excepto como espacio de trabajo temporal). Puede colocar los qubits donde desee en la cuadrícula.$|k\rangle \rightarrow |k + 1\pmod{16}\rangle$$k$

Aquí está el mejor circuito que he encontrado. Utiliza 14 CNOTs.

¡Tenga en cuenta que este circuito no está usando un diseño lineal! Se coloca en la cuadrícula de esta manera:

0-A-1
  |
  3
  |
  2

Donde 'A' es una ancilla inicializada en el estado | 0> y '0', '1', '2', '3' son los qubits que forman el registro (con '0' como el bit menos significativo).

Verifiqué este circuito en Quirk usando la dualidad de estado de canal y un inverso bien conocido .

Si uno tuviera acceso a la operación sqrt-of-CNOT, el número de operaciones de 2 qubit podría reducirse a 13 fusionando dos CNOTs y tres Ts en el área inferior en un S controlado.

Si los CNOT tenían una tasa de error del 0.5% y todas las demás fuentes de error eran insignificantes, podría aplicar este circuito casi diez veces antes de alcanzar una tasa de falla del 50%. Implicar una máquina NISQ plausible podría "casi contar hasta diez".