¿Puede una computadora cuántica determinar fácilmente el tiempo de mezcla del grupo de cubos de Rubik?

Los funcionarios en los torneos de cubos de Rubik han utilizado dos formas diferentes de revolver un cubo. En la actualidad, se rompen un cubo y reensamblar los cubitos en un orden aleatorio del grupo cubo de Rubik . Anteriormente, aplicaban una secuencia aleatoria de movimientos Singmaster .G g ⟨ U , D , F , B , L , R $\pi\in G$$G$$g$$\langle U,D, F, B, L, R\rangle$

Sin embargo, la longitud de la palabra - el número de movimientos aleatorios necesarios para mezclar completamente el cubo de tal manera que cada una de las permutas es aproximadamente igual de probable - actualmente es desconocida, pero debe ser al menos 20 . Esta longitud t se puede llamar el tiempo de mezcla de una caminata aleatoria en el gráfico de Cayley del grupo de cubos de Rubik generado por los movimientos Singmaster \ langle U, D, F, B, L, R \ rangle .$t$$g$$\Vert G\Vert=43,252,003,274,489,856,000$ $20$$t$$\langle U,D, F, B, L, R\rangle$

¿Tendría alguna ventaja una computadora cuántica para determinar el tiempo de mezcla $t$ del grupo de cubos de Rubik?

Creo que podemos tener una secuencia inteligente de movimientos de Hadamard para crear un registro $\vert A \rangle$ como una superposición uniforme sobre todas esas configuraciones $\Vert G\Vert$ ; así, aplicar cualquier secuencia de movimientos de Singmaster a $\vert A \rangle$ no cambia $\vert A \rangle$ .

Si tenemos una conjetura sobre cuál es el tiempo de mezcla , también podemos crear otro registro como una superposición uniforme de todas las palabras Singmaster de longitud , y aplicar condicionalmente cada una de esas palabras a un estado resuelto , para obtener un estado tal que, si medimos , cada una de las configuraciones tenga la misma probabilidad de medirse. Si , entonces no habremos caminado a lo largo de la gráfica de Cayley de durante el tiempo suficiente, y si hubiéramos medido$t'$$t$$\vert B \rangle$$t'$$\vert A'\rangle$$\vert B\rangle \vert A\rangle$$\vert A \rangle$$\Vert G \Vert$$t'\lt t$$G$$\vert A \rangle$, las configuraciones que están "más cerca" del estado resuelto serían más probables. Alguna transformación inteligente de tipo Fourier en podría medir cuán uniformemente distribuida está .$\vert B \rangle$$\vert A \rangle$

Para mí, esto se siente como algo en lo que una computadora cuántica puede ser buena. Por ejemplo, si no se ha mezclado uniformemente con todas las palabras en , entonces algunas configuraciones son más probables que otras, por ejemplo, es más "constante"; mientras que ha sido completamente mezclado por todas las caminatas, entonces está más "equilibrado". Pero mi idea sobre los algoritmos cuánticos y las cadenas de Markov no es lo suficientemente fuerte como para llegar muy lejos.$\vert A \rangle$$\vert B\rangle$$\vert A \rangle$$\vert A \rangle$ $\vert A \rangle$

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Contraste esta pregunta con el problema de verificación del nudo cuántico.

En la verificación del nudo cuántico, un comerciante recibe una moneda cuántica como un estado de todos los nudos que tienen un invariante particular. Para verificar la moneda cuántica, aplica una cadena Markov para hacer la transición a sí misma (si es una moneda válida). Debe aplicar esta cadena de Markov y medir el resultado al menos veces, pero de lo contrario tiene no hay manera de construir por sí sola (para que no pueda falsificar la moneda). Entonces, si le dan una moneda válida, le dan un estado que no puede producir por sí sola , junto con una cadena de Markov como matriz , y presumiblemente sabe el tiempo de mezcla$\vert K \rangle$$M$$\vert K \rangle$$t$$\vert K \rangle$$M$$t$; debe probar que es válido.$\vert K \rangle$

En la presente pregunta, probablemente sea bastante fácil generar de todas las permutaciones de cubo de Rubik. El circuito cuántico correspondiente a la cadena de Markov, llamado , de los movimientos de Singmaster, también es probablemente bastante fácil de construir. Sin embargo, el tiempo de mezcla es desconocido, y es lo único que debe determinarse.$\vert RC \rangle$$S$$t$

Es una pregunta interesante que es mejor que la mayoría "¿hay un algoritmo cuántico para x?" preguntas No sé de un algoritmo cuántico existente. Permítanme describir lo que creo que sería un primer intento típico, y por qué eso falla. Al final, describiré un par de cosas que podrían conducir a algunas mejoras.

Primer intento de un algoritmo

Digamos que quiero probar un tiempo de mezcla particular . Voy a crear un registro, contiene espacio de trabajo suficiente para contener cualquiera de las configuraciones posibles del cubo de Rubik. El estado inicial de esto es un estado del producto que corresponde al estado inicial del cubo.$t$$RC$

A continuación, voy a hacer registros Ancilla, a . Cada uno de estos tiene el mismo tamaño que el número de movimientos posibles de Singmaster, y se prepara como una superposición uniforme en todos los elementos básicos posibles. Luego, para cada , aplicamos un unitario controlado de a donde el registro especifica qué movimiento Singmaster se aplica en .$t$$A_1$$A_t$$i=1,\ldots t$$A_i$$RC$$A_i$$RC$

Después de todo esto, si solo miramos , debería estar en el estado de máxima mezcla si la mezcla se ha realizado como se desea. El problema es cómo probar si esta salida es o no el estado máximo mixto. Existen técnicas útiles como esta , pero ¿qué precisión requerimos (es decir, ¿cuántas repeticiones?). Necesitaremos sobre para estar seguros, creo.$RC$$|A|^t$

De hecho, esta forma de hacer las cosas es tan mala como hacerlo de manera clásica: podría reemplazar el estado inicial de cada con y no cambiaría el resultado . Pero esto realmente es como hacer una elección aleatoria cada vez y ejecutar muchas veces, verificando la distribución de salida correcta.$A_i$$\mathbb{I}/2^{|A_i|}$

Posibles mejoras

• Funcionando como lo describí, la matriz de densidad de salida (en ) debe ser diagonal. Eso significa que la superposición uniforme sobre todos los estados básicos es un estado propio si y solo si el sistema está mezclado al máximo. Lo haría si uno pudiera combinar esta observación con algún tipo de amplificación de amplitud para obtener una aceleración leve. Tenga en cuenta que genera una diferencia muy rápidamente con respecto a si el estado no es un vector propio.$\rho$$RC$$|u\rangle$$\rho^k|u\rangle$$|u\rangle$

• Aparte de eso, probablemente necesite hacer algo más inteligente con los registros ancilla. Hay alguna esperanza de que esto sea posible porque hay bastante estructura de grupo integrada en el cubo de Rubik. Una cosa que podría intentar es ver si puede reemplazar todos los registros de ancilla con un único registro, aplicar puertas de Hadmard en cada qubit del registro entre cada ronda de unidades unitarias controladas. Es posible que todo lo que haga sea brindarle un ahorro de eficiencia en términos de la cantidad de qubits en comparación con mi sugerencia original. Puede que ni siquiera haga eso.$t$

Si alguno de los dos trabaja directamente, no lo sé. Aún así, creo que los principios clave son encontrar alguna estructura de grupo útil y encontrar una forma de aplicar la amplificación de amplitud.

Puede que le resulte útil leer sobre diseños unitarios . Este es ciertamente un problema distinto de lo que estamos hablando aquí, pero algunas de las herramientas técnicas pueden ser útiles. Hablando en términos generales, la idea es que un conjunto de unitarios es un diseño si la aplicación aleatoria de estos unitarios permite simular un unitario verdaderamente aleatorio (extraído de la medida de Haar) en las funciones de salida que, cuando se expande usando una serie de Taylor, son precisas hasta el grado . La conexión aproximada aquí es que si toma las unidades unitarias que representan una secuencia de movimientos Singmaster como , sería suficiente si este conjunto fuera un diseño de 2 (si obtiene$\{U\}$$t$$f$$t$$t$$\{U\}$$\text{Tr}(\rho^2)$ correcto, ya está).

(CW para evitar repeticiones de auto-respuesta)

No podría ser una manera interactiva por dos partes se estrechen en el valor de , el seguimiento de la respuesta de @ DaftWullie y los comentarios de @Steven Sagona. Mi formalismo es pobre, pero espero que la idea llegue ...$t$

Por ejemplo, llame a las dos partes Alice y Bob. Las partes deben cooperar y comportarse honestamente de acuerdo con el protocolo.

Alice sabe cómo preparar dos estados, y . Aquí, es la superposición uniforme sobre todas las combinaciones de cubos de Rubik, y es algún otro estado de mono con el mismo número de qubits (como el estado correspondiente a un cubo de Rubik resuelto, o una superposición uniforme sobre algún subgrupo grande de ). Bob sabe cómo aplicar una matriz a un estado cuántico, donde corresponde al paso único de todos los movimientos de Singmaster (con ancillas cuando corresponda).$\vert A_0 \rangle$$\vert A_1 \rangle$$\vert A_0\rangle$$\vert A_1\rangle$$G$$M$$M$

Alice y Bob quieren mostrar que el tiempo de mezcla del grupo de cubos de Rubik bajo los movimientos de Singmaster es como máximo . Alice y Bob repitió lo siguiente veces.$t$$r$$s$

1. Alice lanza una moneda y proporciona a Bob$i\in\{0,1\}$$\vert A_i \rangle$
2. Bob repite veces para aplicar a , y mide el proyector cada vez.$r$$M$$\vert A_i \rangle$
3. Si el proyector es para cada uno de los iteraciones, entonces Bob dice que . Si el proyector no es por lo menos uno de los iteraciones, entonces Bob dice que Alice es .$1$$r$$i=0$$1$$r$$i=1$

Si , entonces cada uno de de Bob iteraciones en el paso 2 no cambia - porque, por definición es un estado propio de la matriz de Bob, y la matriz de Bob acaba de permuta los estados entre sí. Si , entonces el estado del mono no es un estado propio del proyector de Bob, y la posibilidad de que no se mida un aumenta rápidamente con . $i=0$$r$$\vert A_0\rangle$$\vert A_0 \rangle$$i=1$$\vert A_1 \rangle$$1$$r$

Por lo tanto, si Bob ha predicho con precisión para iteraciones de , la probabilidad de éxito aumenta exponencialmente con , y la de Bob es lo suficientemente grande como para distinguir un estado de cubo de Rubik válido de un estado de mono.$i$$s$$s$$r$

No sé a qué distancia tiene que ser de . Tampoco sé si se puede eliminar la interacción.$\vert A_1\rangle$$\vert A_0\rangle$

Inicialmente consideremos algunos registros y operadores.

1. El registro , que codifica superposiciones de estados del cubo (por ejemplo, una permutación del cubo );$\vert A\rangle$$G$
2. El operador , que actúa en para mapear el ket all-0 a la superposición uniforme sobre todos los estados ;$U$$\vert A\rangle$$\vert 00\cdots 0\rangle$$\Vert G\Vert$
3. El registro , que codifica superposiciones de un conjunto de movimientos de Singmaster para aplicar a una posición determinada (por ejemplo, superposiciones de palabras de Singmaster movimientos de longitud );$\vert B\rangle=\vert b_1\rangle\vert b_2\rangle\cdots\vert b_k\rangle$$k$
4. Los operadores y , que actúan en para mapear el ket all-0 de todos los a la superposición uniforme de todas las palabras de Singmaster movimientos de longitud (y viceversa); y$V$$V^{-1}$$\vert B\rangle$$\vert 00\cdots 0\rangle$$18^k$$k$
5. El operador (controlado) , que aplica el movimiento Singmaster a una posición de cubo dada.$W$$b$

Si está en la superposición uniforme sobre todos los elementos de , entonces está en un estado propio de , y las aplicaciones repetidas de no serán rechazadas para afectar a .$\vert A\rangle$$G$$\vert A\rangle$$W$$W$$\vert B\rangle$

Es decir, debería devolver en el circuito anterior a los todos ceros ket .$V^{-1}$$\vert B\rangle$$\vert 00\cdots 0\rangle$

Sin embargo , como señaló @DaftWullie, si no está en un estado propio, entonces una diferencia entre y acumula muy rápidamente : creo que una velocidad a la que Esta acumulación de diferencias depende precisamente de las propiedades de mezcla del operador de interés.$\vert u\rangle$$\vert u \rangle$$\rho^k \vert u\rangle$

Por lo tanto, si somos capaces de preparar un estado que está perturbado de la distribución uniforme, de manera que no es un estado propio, a continuación, las aplicaciones repetidas de serán rápidamente construir una diferencia, y puede no ser el ket de todos los ceros.$\vert A\rangle$$\vert A\rangle$$W$ $V^{-1}\vert B\rangle$

Si tuviéramos una función actúa sobre y una respuesta qubit que determina, por ejemplo, si algunos hash de la posición del cubo de Rubik es menor que algún umbral , y usamos esta para controlar una rotación de , entonces creo que en el el circuito anterior no leerá el conjunto de todos ceros, y en su lugar probablemente se desviará del conjunto de todos los ceros de una manera que dependerá solo de y el tiempo de mezcla del grupo de cubos de Rubik con el grupo electrógeno Singmaster.$F$$\vert A\rangle$$\vert C\rangle$$\{0,1\}^{\log_2 \Vert G\Vert}\mapsto (0,1)$$\delta$$F$$\vert A\rangle$$V^{-1}\vert B\rangle$$\delta$

Es decir, espero que la medición de en el circuito anterior lea o algo similar, donde el índice del primer depende únicamente del tiempo de mezcla y el umbral .$\vert B\rangle$$\vert 00000\cdots000101101\rangle$$1$$\delta$