Número de puertas requeridas para aproximar unitarios arbitrarios

Si entiendo correctamente, deben existir operaciones unitarias que se puedan aproximar a una distancia solo por un número exponencial de puertas cuánticas y nada menos. $\epsilon$

Sin embargo, según el teorema de Solovay-Kitaev, cualquier operación unitaria arbitraria en qubits, con fijo, puede aproximarse a una distancia de utilizando puertas universales poli (log (1 / )). $n$ $n$ $\epsilon$ $\epsilon$

¿No parecen estas dos declaraciones contradictorias? ¿Qué me estoy perdiendo?

quantum-gate gate-synthesis solovay-kitaev-algorithm

— BlackHat18
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En su declaración, ¿el número de puertas es exponencial con respecto a qué? La precisión?

— Nelimee

Supongo que la cantidad de qubits. Creo que lo entiendo ahora. Manteniendo la precisión fija, puede haber unidades unitarias que requieran un número exponencial de puertas para simular, con respecto al número de qubits. Por el contrario, según el teorema de Solovay Kitaev, manteniendo el número de qubits fijos, el número de puertas cuánticas universales para escalas de simulación polinomialmente con respecto a la precisión. ¿Eso es lo que es?

— BlackHat18

Sí, exactamente: está comparando la escala con respecto a dos parámetros diferentes: precisión alcanzable para una sola puerta de qubit en función del número de puertas para un conjunto universal finito, y el número de puertas requeridas para lograr una precisión dada para las unidades unitarias en función del número de qubits sobre los que actúa el unitario.

— DaftWullie

Si la pregunta ya no se hace, @ BlackHat18 podría explicar por qué como respuesta ellos mismos. ¿Cuál es la política al respecto?

— AHusain

@AHusain BlackHat18 se permite y fomenta la

— glS

$O(4^n\text{poly}\left(\log\frac{1}{\epsilon}\right))$

— Será
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$d$ $d=2^n$ $n$

$l_{\epsilon} = O(\ln^{\ln 5/\ln(3/2)} (1/\epsilon))$
$t_{\epsilon} = O(\ln^{\ln 3/\ln(3/2)}(1/\epsilon))$ .

Now the issue is the accuracy parameter $\epsilon$ . Since $SU(d)$ is $(d^2-1)$ -dimension manifold, so to approximate every gate in $SU(d)$ within $\epsilon_0$ , we generate $O(1/\epsilon_0^{d^2-1})$ sequences.

Hence, for any specific universal gate set $\mathcal{G}$ the length of gate sequences

l_{0} \geq O (\frac{d^{2} - 1}{\log | G |} \log (1 / ϵ_{0})) .

$l_0 \geq O\left(\frac{d^2-1}{\log |\mathcal{G}|} \log(1/\epsilon_0)\right).$ Set

d = 2^{n}

$d=2^n$ for

n

$n$ qubits, then we obtain

l_{0} \sim 4^{n} p o l y \log (1 / ϵ)

$l_0 \sim 4^n \mathrm{poly}\log(1/\epsilon)$ . Therefore, you indeed need exponentially many gates for approximating unitaries on

n

$n$ qubits.

— Yupan Liu
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