Puerta de Toffoli como FANOUT

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Estaba buscando ejemplos de circuitos cuánticos para hacer ejercicio con la programación Q # y me topé con este circuito:

^{De : Ejemplos de diagramas de circuito cuántico - Michal Charemza}

Durante mis cursos introductorios de computación cuántica, nos enseñaron que la clonación de un estado está prohibida por las leyes de QM, mientras que en este caso el primer qubit contol se copia en el tercer qubit objetivo.

Rápidamente intenté simular el circuito en Quirk, algo como esto , que confirma la clonación del estado en la salida en el primer qubit. La medición del qubit antes de la puerta Toffoli muestra que, de hecho, no es una clonación real, sino un cambio en el primer qubit de control, y una salida igual en el primer y tercer qubit.

Al hacer cálculos matemáticos simples, se puede demostrar que la "clonación" ocurre solo si el tercer qubit está en el estado inicial 0, y que solo si en el primer qubit no se realiza una "operación de giro" (como se indica en Quirk) en Y o X.

Traté de escribir un programa en Q # que solo confirmó lo mencionado anteriormente.

Me cuesta entender cómo esta operación cambia el primer qubit y cómo es posible algo similar a una clonación.

¡Gracias de antemano!

quantum-gate quirk cloning

— D-Brc
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Es una excelente pregunta, y gracias por esforzarse por formatearla tan bien.

— user1271772

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Para simplificar la pregunta, considere la puerta CNOT en lugar de la puerta Toffoli; CNOT también es fanout porque

\begin{aligned} | 0 ⟩ | 0 ⟩ \to | 0 ⟩ | 0 ⟩ \\ | 1 ⟩ | 0 ⟩ \to | 1 ⟩ | 1 ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} |0\rangle|0\rangle \rightarrow |0\rangle|0\rangle\\ |1\rangle|0\rangle \rightarrow |1\rangle|1\rangle \end{align}$

y parece una clonación para cualquier estado base $x\in\{0,1\}$

\begin{aligned} | x ⟩ | 0 ⟩ \to | x ⟩ | x ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} |x\rangle|0\rangle \rightarrow |x\rangle|x\rangle \end{align}$

pero si tomas una superposición entonces $|\psi\rangle=\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$

\begin{aligned} (α | 0 ⟩ + β | 1 ⟩) | 0 ⟩ \to α | 0 ⟩ | 0 ⟩ + β | 1 ⟩ | 1 ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} (\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle)|0\rangle \rightarrow \alpha|0\rangle|0\rangle+ \beta|1\rangle|1\rangle \end{align}$

tan generalmente

\begin{aligned} | ψ ⟩ | 0 ⟩ ↛ | ψ ⟩ | ψ ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} |\psi\rangle|0\rangle\not\rightarrow|\psi\rangle|\psi\rangle \end{align}$

y fanout no es clonación.

En cuanto a la cuestión de cómo se cambia el primer qubit, ahora está enredado con el segundo qubit.

— kludg
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en otras palabras, porque el teorema de no clonación dice que no puede haber ningún unitario capaz de clonar estados no ortogonales, mientras que los estados ortogonales pueden clonarse sin problemas

— glS

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¡Buena pregunta! La respuesta es que el teorema de no clonación establece que no se puede clonar un estado desconocido arbitrario .

$\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)$ $|0\rangle$ $|1\rangle$

$|\psi\rangle$ $\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)$

— usuario1271772
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| x ⟩

$|x\rangle$

| x ⟩

$|x\rangle$

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$

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El teorema de no clonación dice que no hay circuito que cree copias independientes de todos los estados cuánticos. Matemáticamente, ninguna clonación establece que:

\forall C : \exists un, si : C \cdot ((un El | 0 0 ⟩ + si El | 1 ⟩) \otimes El | 0 0 ⟩) \neq (un El | 0 0 ⟩ + si El | 1 ⟩) \otimes (un El | 0 0 ⟩ + si El | 1 ⟩)

Los circuitos de abanico no violan este teorema. No hacen copias independientes. Hacen copias enredadas . Matemáticamente, hacen:

FANOUT \cdot ((un El | 0 0 ⟩ + si El | 1 ⟩) \otimes El | 0 0 ⟩) = un El | 00 ⟩ + si El | 11 ⟩

$\text{FANOUT} \cdot \Big( (a|0\rangle + b|1\rangle) \otimes |0\rangle \Big) = a|00\rangle + b|11\rangle$

— Craig Gidney
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