¿Es el grupo Pauli para qubits una base para ?

El grupo Pauli para -qubits se define como , es decir, como el grupo que contiene todos los posibles productos tensoriales entre matrices Pauli. Está claro que las matrices de Pauli forman una base para los espacios vectoriales de matriz compleja , es decir . Aparte de esto, de la definición del producto tensorial, se sabe que el grupo Pauli de bits formará una base para el espacio del producto tensorial .G n = { I , X , Y , Z } ⊗ n n 2 × 2 C 2 × 2 n ( C 2 × 2 ) ⊗ $n$$G_n=\{I,X,Y,Z \}^{\otimes n}$$n$$2\times 2$$\mathbb{C}^{2\times 2}$$n$$(\mathbb{C}^{2\times 2})^{\otimes n}$

Me pregunto si el grupo de Pauli en -qubits forma una base para el espacio vectorial complejo donde actúan los elementos de este espacio tensorial del producto, es decir . Resumiendo, la pregunta sería: ¿es verdadero?C 2 n × 2 n ( C 2 × 2 ) ⊗ n = C 2 n × 2 $n$$\mathbb{C}^{2^n\times 2^n}$$(\mathbb{C}^{2\times 2})^{\otimes n}=\mathbb{C}^{2^n\times 2^n}$

He estado tratando de demostrarlo usando argumentos sobre las dimensiones de ambos espacios, pero aún no he podido obtener nada.

Sí, el conjunto de tensor de productos de todos los posibles Pauli operadores (incluyendo ) forma una base ortogonal para el espacio vectorial de matrices complejas. Entonces, veamos esto primero, notamos que el espacio tiene una dimensión de y también tenemos vectores (los vectores son operadores en este caso). Por lo tanto, solo tenemos que demostrar que son linealmente independientes.I 2 n × 2 n 4 n 4 $n$$I$$2^n \times 2^n$$4^n$$4^n$

De hecho, podemos mostrar algo más fuerte. Se puede ver fácilmente que los miembros del grupo Pauli son ortogonales bajo el producto interno de Hilbert-Schmidt. El producto interno HS de dos matrices se define como . Podemos verificar fácilmente a partir de la definición que el grupo Pauli es un conjunto mutuamente ortogonal bajo este producto interno. Simplemente tenemos que usar la propiedad elemental . T r ( C ⊗ D ) = T r ( C ) T r ( D $Tr(AB^\dagger)$$Tr(C \otimes D) = Tr(C)Tr(D)$