Explicación simplificada de la transformación Shor / QFT como chincheta

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Como programador no matemático / software, estoy tratando de comprender cómo funciona QFT (Quantum Fourier Transformation).

Siguiendo este video de YouTube: https://www.youtube.com/watch?v=wUwZZaI5u0c

Y este blog: https://www.scottaaronson.com/blog/?p=208

Tengo una comprensión básica de cómo puedes calcular / construir el período usando interferencia. Pero al tratar de explicarle esto a un colega me encontré con un problema. Usé los siguientes ejemplos, N = 15, a = 7, por lo que el período que necesitaré para encontrar es r = 4.

El patrón es: 7, 4, 13, 1, 7, 4, 13, 1, 7, 4, 13, 1 (etc)

Si imagino la rueda (como en el video de YouTube) o un reloj (como el blog), puedo ver que el círculo con 4 puntos / reloj con 4 horas crea un patrón constructivo y los otros no.

Pero, ¿qué sucede con un círculo con 2 puntos, o un reloj con 2 horas, esos tendrán la misma magnitud / patrón constructivo que 4? Se repite dos veces más rápido, pero aparte de eso, ¿el mismo resultado?

¿Cómo hace frente QFT a esto?

(Bonificación: ¿Puedes explicar en términos simples sin demasiadas matemáticas complicadas?)

shors-algorithm quantum-fourier-transform

— Roy van Rijn
fuente

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Permítanme intentar dar una respuesta poco convencional a esta pregunta:

As a non-mathematician/software programmer I'm trying to grasp
how QFT (Quantum Fourier Transformation) works.

$n$ $2^n$

$2^n$ $|0\rangle$ $|2^n-1\rangle$

$1$ $2^n$

$n$ $n$ $\times$ $1$ $1$

$\times$

$3$ $3$

$3$ $|0\rangle$ $1$ $|0\rangle$

La pregunta ahora es qué sucede con el estado cuántico cuando aplicamos la transformación cuántica de Fourier. Resulta que, cuando la Transformación Cuántica de Fourier se aplica al estado que se muestra arriba, el estado resultante del sistema cuántico se convierte en:

$1/\sqrt{8}$

$|1\rangle$

Ahora, si aplicamos la Transformación Cuántica de Fourier, el estado resultante se convierte en:

Podemos ver que el estado resultante se convierte en algún tipo de forma de hélice. Además, observe que si tuviéramos que agregar un círculo adicional a la derecha del estado más a la derecha, entonces la hélice completaría exactamente una revolución.

$|j\rangle$ $j$ $|3\rangle$

$3$

$j$ $|j\rangle$

Es esta idea la que es el componente crucial en el algoritmo de Shor. La idea central es tomar la secuencia de números que describe:

7, 4, 13, 1, 7, 4, 13, 1, 7, 4, 13, 1 (etc)

$|4\rangle$

NOTA 1: Hay muchos detalles que omití en el párrafo final. Sin embargo, esta respuesta ya contiene mucha información, que creo que debe analizarse antes de poder intentar agregar estos detalles a la imagen. Si alguien quiere que agregue estos detalles, podría hacerlo en una etapa posterior.

$2^n$

— arriópolis
fuente

Gracias por la respuesta, entiendo lo que estás diciendo, esto es consistente con lo que sabía sobre las transformaciones de Fourier (y lo inverso). Supongo que las historias sobre relojes y magnutidas me confundieron más de lo que debería. ¡Voy a tomar este enfoque diferente para explicar Shor!

— Roy van Rijn

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En su ejemplo, el patrón está hecho por una función de multiplicación modular o circuito f (x) = ax (mod N) Este circuito cuántico y patrón también se proporciona en el manual de IBM Q de IBM Q Experience .

Entonces en un bucle con entrada de inicio x = 1

x = 1 f (x) = 7 * 1 (mod 15) = 7

x = 7 f (x) = 7 * 7 (mod 15) = 4

x = 4 => 13

x = 13 => 1

El patrón 1 7 4 13 1 se repite cada 4ta vez. Por lo tanto, el circuito se fija para un dado a y mod 15 y siempre devuelve r = 4. Si desea r = 2, necesita otra función multiplicadora

— Bram
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