Si la aceleración cuántica se debe a la naturaleza ondulatoria de la mecánica cuántica, ¿por qué no usar ondas regulares?

La intuición que tengo de por qué la computación cuántica puede funcionar mejor que la computación clásica es que la naturaleza ondulatoria de las funciones de onda le permite interferir múltiples estados de información con una sola operación, lo que en teoría podría permitir una aceleración exponencial.

Pero si realmente es solo una interferencia constructiva de estados complicados, ¿por qué no solo realizar esta interferencia con las ondas clásicas?

Y sobre este asunto, si la figura del mérito es simplemente en los pocos pasos en los que se puede calcular algo, ¿por qué no comenzar con un sistema dinámico complicado que tiene incrustado el cálculo deseado? (es decir, ¿por qué no simplemente crear "simuladores analógicos" para problemas específicos?)

Su afirmación principal de que la matemática de las ondas imita a la de la mecánica cuántica es la correcta. De hecho, muchos de los pioneros de QM solían referirse a ella como mecánica de ondas por esta razón precisa. Entonces es natural preguntar: "¿Por qué no podemos hacer computación cuántica con ondas?".

La respuesta corta es que la mecánica cuántica nos permite trabajar con un espacio de Hilbert exponencialmente grande mientras gastamos solo recursos polinómicos. Es decir, el espacio de estado de qubits es un espacio de Hilbert de dimensiones.2 $n$$2^n$

No se puede construir un espacio de Hilbert exponencialmente grande a partir de polinomios de muchos recursos clásicos. Para ver por qué este es el caso, veamos dos tipos diferentes de computadoras basadas en mecánica de ondas.

La primera forma de construir una computadora de este tipo sería tomar un número de sistemas clásicos de dos niveles. Cada sistema por sí solo podría estar representado por un espacio 2D de Hilbert. Por ejemplo, uno podría imaginar cuerdas de guitarra con solo los dos primeros armónicos excitados.$n$$n$

Esta configuración no podrá imitar la computación cuántica porque no hay enredos. Por lo tanto, cualquier estado del sistema será un estado del producto y el sistema combinado de cuerdas de guitarra no se puede utilizar para crear un espacio de Hilbert de dimensiones.2 $n$$2^n$

La segunda forma en que uno podría intentar construir un espacio de Hilbert exponencialmente grande es usar una sola picadura de guitarra e identificar sus primeros armónicos con los vectores base del espacio de Hilbert. Esto se hace en la respuesta de @DaftWullie. El problema con este enfoque es que la frecuencia del armónico más alto que uno necesita excitar para que esto suceda se escalará como . Y dado que la energía de una cuerda vibrante se escala cuadráticamente con su frecuencia, necesitaremos una cantidad exponencial de energía para excitar la cuerda. Entonces, en el peor de los casos, el costo de energía del cálculo puede escalar exponencialmente con el tamaño del problema. O ( 2 n$2^n$$O(2^n)$

Entonces, el punto clave aquí es que los sistemas clásicos carecen de enredos entre partes físicamente separables. Y sin enredos, no podemos construir espacios de Hilbert exponencialmente grandes con una sobrecarga polinómica.

Yo mismo a menudo describo que la fuente del poder de la mecánica cuántica se debe a la "interferencia destructiva", es decir, la naturaleza ondulatoria de la mecánica cuántica. Desde el punto de vista de la complejidad computacional, está claro que esta es una de las características más importantes e interesantes de la computación cuántica, como señala Scott Aronson (por ejemplo) . Pero cuando lo describimos de esta manera muy breve: que "el poder de la computación cuántica está en la interferencia destructiva / la naturaleza ondulatoria de la mecánica cuántica", es importante notar que este tipo de afirmación es breve, y necesariamente incompleto

Siempre que haga una declaración sobre "el poder" o "la ventaja" de algo, es importante tener en cuenta: ¿en comparación con qué ? En este caso, lo que estamos comparando es la computación probabilística específica: y lo que tenemos en mente no es solo que 'algo' está actuando como una onda, sino específicamente que algo que de otra manera es como una probabilidad está actuando como una onda.

Hay que decir que la probabilidad misma, en el mundo clásico, ya actúa un poco como una onda: específicamente, obedece a una especie de Principio de Huygen (que puede comprender la propagación de probabilidades de las cosas al sumar las contribuciones de las iniciales individuales). condiciones, o en otras palabras, por un principio de superposición ). La diferencia, por supuesto, es que la probabilidad no es negativa, por lo que solo puede acumularse, y su evolución será esencialmente una forma de difusión. La computación cuántica logra exhibir un comportamiento ondulatorio con amplitudes probabilísticas, que pueden ser no positivas; y entonces es posible ver la interferencia destructiva de estas amplitudes.

En particular, debido a que las cosas que actúan como ondas son cosas como probabilidades, el 'espacio de frecuencia' en el que evoluciona el sistema puede ser exponencial en el número de partículas que involucra en el cálculo. Este tipo general de fenómeno es necesario si desea obtener una ventaja sobre la computación convencional: si el espacio de frecuencia se escala polinomialmente con el número de sistemas, y la evolución misma obedeció a una ecuación de onda, los obstáculos para la simulación con computadoras clásicas serían más fáciles de resolver. superar. Si desea considerar cómo lograr ventajas computacionales similares con otros tipos de ondas, debe preguntarse cómo piensa exprimir una cantidad exponencial de 'frecuencias' o 'modos' distinguibles en un espacio de energía limitado.

Finalmente, en una nota práctica, hay una cuestión de tolerancia a fallas. Otro efecto secundario del comportamiento ondulatorio exhibido por fenómenos probabilísticos es que puede realizar la corrección de errores probando paridades, o más generalmente, entrenamientos gruesos de distribuciones marginales. Sin esta facilidad, la computación cuántica estaría esencialmente limitada a una forma de computación analógica, que es útil para algunos propósitos pero que se limita al problema de la sensibilidad al ruido. Todavía no tenemos computación cuántica tolerante a fallas en sistemas informáticos integrados, pero sabemos que, en principio, es posible y estamos apuntando a ello; mientras que no está claro cómo se podría lograr algo similar con las ondas de agua, por ejemplo.

Algunas de las otras respuestas tocan esta misma característica de la mecánica cuántica: la 'dualidad onda-partícula' es una forma de expresar el hecho de que tenemos algo probabilístico sobre el comportamiento de las partículas individuales que actúan como ondas, y comentarios sobre la escalabilidad / la exponencialmente del espacio de configuración se sigue de esto. Pero subyacente a estas descripciones de nivel ligeramente superior está el hecho de que tenemos amplitudes cuánticas, que se comportan como elementos de una distribución de probabilidad multivariada, que evoluciona linealmente con el tiempo y se acumula, pero que puede ser tanto negativa como positiva.

Lo que hace que la mecánica de onda cuántica sea diferente de la clásica es que la onda se define en un espacio de configuración con una gran cantidad de dimensiones. En la mecánica cuántica no relativista de pregrado (que es lo suficientemente buena para una discusión teórica de la computación cuántica), un sistema de partículas puntuales sin espín en el espacio 3D se describe mediante una onda en R 3 n , que para n = 2 ya no tiene análogo en la clásica mecánica. Todos los algoritmos cuánticos explotan esto. Puede ser posible explotar la mecánica de onda clásica para mejorar ciertos cálculos (computación analógica), pero no utilizando algoritmos cuánticos.$n$$\mathbb{R}^{3n}$$n=2$

$\{0,1\}$$\mathbb{R}^3$$n$$n$$2^n$$2^n$

No pretendo tener una respuesta completa (¡todavía! Espero actualizar esto, ya que es un tema interesante para tratar de explicarlo bien). Pero déjenme comenzar con algunos comentarios aclaratorios ...

Pero si realmente es solo una interferencia constructiva de estados complicados, ¿por qué no solo realizar esta interferencia con las ondas clásicas?

La respuesta simplista es que no se trata solo de interferencia. Creo que realmente se reduce a que la mecánica cuántica usa diferentes axiomas de probabilidad (amplitudes de probabilidad) para la física clásica, y estos no se reproducen en el escenario de onda.

$L$

$^*$$\{A_n\}$

$^*$

$\{A_n\}$

Esta podría ser una forma de ver la diferencia (o al menos ir en la dirección correcta). Hay una forma de realizar computación cuántica clasificada basada en la medición de computación cuántica. Usted prepara su sistema en un estado particular (que, ya hemos acordado, podríamos hacer con nuestros w-bits), y luego mide los diferentes qubits. Su elección de la base de medición determina el cálculo. Pero no podemos hacer eso aquí porque no tenemos esa opción de base.

Y sobre este asunto, si la figura del mérito es simplemente en los pocos pasos en los que se puede calcular algo, ¿por qué no comenzar con un sistema dinámico complicado que tiene incrustado el cálculo deseado? (es decir, ¿por qué no simplemente crear "simuladores analógicos" para problemas específicos?)

$H$$t_0$$e^{iHt_0}$$2H$$t_0$$t_0/2$$H$

$H$$e^{-iHt_0}$

Las ondas regulares pueden interferir, pero no pueden enredarse.
En la primera oración de mi respuesta a esta pregunta se da un ejemplo de un par de qubits enredados, que no puede suceder con las ondas clásicas: ¿Cuál es la diferencia entre un conjunto de qubits y un condensador con una placa subdividida?

Se considera que el entrelazamiento es lo crucial que da ventaja a las computadoras cuánticas sobre las clásicas, ya que la superposición sola puede ser simulada por una computadora clásica probabilística (es decir, una computadora clásica más un lanzador de monedas).

"¿Por qué no simplemente realizar esta interferencia con las ondas clásicas?"

Sí, esta es una forma en que podemos simular computadoras cuánticas en computadoras digitales normales. Simulamos las "ondas" usando aritmética de coma flotante. El problema es que no se escala. Cada qubit duplica el número de dimensiones. Para 30 qubits, ya necesita alrededor de 8 gigabytes de ram solo para almacenar el vector de estado "wave". Con alrededor de 40 qubits nos quedamos sin computadoras lo suficientemente grandes como para hacer esto.

Aquí se hizo una pregunta similar: ¿cuál es la diferencia entre un conjunto de qubits y un condensador con una placa subdividida?